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自己集合の美：四価ゴールドバーグの立体 / Self-Assembled Beauty: Tetravalent Goldberg Polyhedra

図６　４価のゴールドバーグ多面体群

-日本科学技術振興機構（2016年12月22日）“分子の自己集合現象の解明に迫る物質群の存在を発見”

四価ゴールドバーグの立体
Tetravalent Goldberg Polyhedra
2016年京都大学にて発見
Discovered at Kyoto Univ. in 2016

自己集合の美
　限られた種類の小さな分子が自然に集まって、秩序だった構造を作り上げる現象には驚かされます。この報告では、化学的な手法で、幾何学的構造の分子複合体を作り上げることに成功しています。構成単位は金属イオン（Ｍ：４価の頂点に相当）と有機リガンド（Ｌ：辺に相当）。溶媒中で自己集合して、90成分からなる複合体Ｍ30Ｌ60が形成されました。その構造は、分子形状としてはとても珍しい4価ゴールドバーグの立体であることが分り、しかも鏡像体のある形でした（tet-G(2,1)、Ⅲ型）。著者らは、幾何学的な法則性からさらに大きな複合体を予測し、期待通り144成分からなる複合体M48L96を得ています（tet-G(2,2)、II型）。自己集合で作られる形は、熱力学的に安定です。対称性の高い幾何学的構造はおそらく安定であり、巨大な分子複合体を作りだす上で重要な手がかりになりそうです。

四価ゴールドバーグの立体*

　正八面体のゴールドバーグ・コクセターコンストラクション＊による立体。四価で三角形と四角形からなる八面体対称の立体です。三角形は常に8つです。三角形の位置はちょうど立方体の頂点部分にあたり、その間を四角形で均等に埋めた形です。一つの三角形をスタートして、隣り合う面づたいにｍ面直進し、90度向きを変えてn面直進すると、最寄りの三角形にたどり着きます。このとき、Ｉ型はmまたは n=0、II型はm=ｎ、III型はm≠nです。III型のみ鏡像体があり、ねじれた外観です（右巻きと左巻き）。馴染み深い三角形と四角形でできる形ですが、四価ゴールドバーグの立体は普段目にすることはありません。対称性の高い美しい立体で、特にII型とIII型が面白いです。
* これらの語句は説明のために用いていますが、厳密には正確ではないかもしれません。下記の文献が参考になります。
-Brinkmann et al., Proceedings Royal Society A 473: 20170267 (2017)

Self-Assembled Beauty

Natural wonders may extend to a molecular phenomenon in which limited types of small components assemble into a highly ordered structure. In chemistry, geometric supramolecular structures were obtained by self-assembly of metal ions (M: as tetravalent vertices) and organic ligands (L: as bent edges at a certain angle). X-ray crystallography revealed that the complex Ｍ30Ｌ60 made of 90 components has a structure resembling a tetravalent Goldberg polyhedron tet-G(2,1) typeIII, an unprecedented structure in the molecular world. The authors predicted even larger complexes, and successfully obtained Ｍ48Ｌ96 made of 144 components (tet-G(2,2), type II). Self-assembled structures are thermodynamically stable. Geometric principles may underlie formation of supramolecular structures.

Tetravalent Goldberg Polyhedra*

Polyhedra obtained by the Goldberg-Coxeter construction* on an octahedron. Simply, these are created by adding tetragons to the octahedron, 4-reguraly and symmetrically (octahedral). Triangles are 8 in total. Triangles are located at vertices of a cubic cell, and tetragons fill the gaps evenly. Starting from one triangle, move m-faces over tetragons in one direction, turn 90 degrees, and move n-faces to reach the closest triangle. A pair of numbers (m,n) is useful to classify the structures: m, n=0 (type I), m=n (type II), and m≠n (type III). Only type III is chiral, and looks twisted. Although triangles and tetragons are both familiar, tetravalent Goldberg polyhedra look unusual yet so beautiful. Type II and III are particularly interesting. 
* Please be advised that the terms “tetravalent Goldberg polyhedra” and “Goldberg-Coxeter construction” are used for convenience, but might not be accurate. See, Brinkmann et al., Proceedings Royal Society A 473: 20170267 (2017)

-“Self-assembly of tetravalent Goldberg polyhedra from 144 small components” Fujita et al., Nature 540: 563-566 (2016)
-"Comparing the constructions of Goldberg, Fuller, Caspar, Klug and Coxeter, and a general approach to local symmetry-preserving operations" Brinkmann et al., Proceedings Royal Society A 473: 20170267 (2017)

-日本科学技術振興機構（2016年12月22日）“分子の自己集合現象の解明に迫る物質群の存在を発見”

- Japan Science and Technology Agency, 22.12.2016. “Self-assembly of tetravalent Goldberg polyhedra from 144 small components”
-京都大学物質細胞統合システム拠点（iCeMS）

天然ガスのタイムカプセル　千葉石 / Natural Gas Time Capsule, Chibaite

Figure 1: Framework structures of three types of clathrasils.

 Momma K. et al. "New silica clathrate minerals that are isostructural with natural gas hydrates" Nature Communications (2011) 

天然ガスのタイムカプセル　千葉石

「シリカクラスレート」
　クラスレート（包摂化合物　clathrate）は、結晶構造の骨格を形成する分子（ホスト）の中に、別の分子（ゲスト）が取り込まれている化合物です。世界中の海底や永久凍土に存在する、「燃える氷」こと「メタンハイドレート（methane hydrate）」は、水分子（H₂O）骨格中にメタン分子（CH₄）を包有します。より大きいガス分子を包有するものもあり「天然ガスハイドレート（Natural Gas hydrate）」と総称されます。2011年に千葉県の房総半島南部から新発見された大変希少な「千葉石（Chibaite）」はケイ素（Si）と酸素 （O）の大小２種類カゴの内側にメタン・エタン・プロパン・イソブタンなどの天然ガス分子を一つずつ含みます。同じ場所で発見された、房総石（Bosoite）、メラノフロジャイト（Melanophlogite）とまとめて「シリカクラスレート（silica clathrate, clathrasil）」と呼ばれます。
　「燃える氷」メタンハイドレート（methane hydrate）は海底近傍の低温環境下で、地層中から漏れ出た主に微生物起源ガスが冷たい海水に触れることで、水分子がメタン分子をカゴ状に取り囲んで海底に固体として溜まりますが、海水温の上昇や地殻変動に伴って最終的に大気中に放散します。一方、クラスレートは地層深く100℃前後の高温条件下で、火山由来シリカと主に熱分解起源ガスを溶かし込んだ地下水が断層に沿って上昇し、温度が50~80℃以下に下がったところで析出生成された後に、自然界ではほとんどがガス溶脱した「石英　Quarts」となって見過ごされていました。というのは、乾燥環境中で1,000℃前後まで加熱しても分解しないものの、熱水溶液中では長い地質年代にわたって徐々に水に再溶解して元の外形を保ったまま溶解度の低い石英として再結晶化するからです（「仮晶　pseudocrystal」）。

「カゴ状構造」
　「天然ガスハイドレート（Natural Gas hydrate）」と同型構造を持つ「シリカクラスレート（silica clathrate, clathrasil）」は、メタンガスを含むメラノフロジャイトのⅠ型（5角12面体と5角12・6角2の14面体）、より大きな炭化水素ガスを含む千葉石のⅡ型（5角12面体と5角12・6角4の16面体）、大型のカゴを有する房総石のH型（5角12面体と4角3・5角6・6角3の12面体と5角12・6角8の20面体）の3種類の結晶構造が確認されています。カゴの直径は1nm（10⁻⁹ m = 1/100万 mm）程度で、どの種類の結晶構造ができるかは存在するガス分子のサイズと濃度に影響されるので、メラノフロジャイト、千葉石、房総石の順番に結晶化していき、房総石が成長するにつれて共生するように千葉石も成長します。メラノフロジャイトは最も不安定で最も豊富に存在し、房総石の結晶体積は他の2つと比べて非常に小さくなります。
　SiO₂を主成分としてSiの一部をAlが置き換えた組成の「沸石　Zeolite」は、SiO₄とAlO₄の四面体が酸素原子を共有しながら互いに連結して、カゴ状やパイプ状など空隙のある骨格構造を持ち、内側に含まれる水分子の他にアルカリ金属やアルカリ土類金属のイオンが溶液中で出入りします。例えばナトリウムを含む沸石は、溶液中の放射性セシウム、カルシウム、マグネシウムなどを吸着除去する代わりにナトリウムを溶出させます。一方、フラーレン構造（五角形と六角形から成る凸多面体構造）を基本とするシリカクラスレートのケージ中ガス占有率は１００％に近く、カゴの出入り口が小さいためにガス分子が出入りしずらく、触媒や吸着といった機能性を持ちません。しかも骨格構造は電荷的に中性なので安定し、乾燥環境中で1,000℃前後まで加熱しても分解せず、熱水中で長い長い時間をかけて結晶が分解するまで、かつて地層中に存在したガス分子を閉じ込めたまま保持します。クラスレートはガスハイドレート堆積物の地下における炭素循環を理解する新たな手段として注目されています。

Natural Gas Time Capsule, Chibaite

Silica Clathrates
A clathrate is an inclusion compound where a host lattice encapsulates guest molecules. A prime example is methane hydrate ("fiery ice") found in deep-sea sediments and permafrost, where water (H₂O) frameworks enclose methane (CH₄). Compounds trapping larger molecules are collectively termed natural gas hydrates. In 2011, the extremely rare mineral chibaite was discovered in the southern Boso Peninsula, Chiba, Japan. Its silicon-oxygen (SiO₂) framework forms two types of cages, each trapping a single natural gas molecule (methane, ethane, propane, or isobutane). Chibaite, along with bosoite and melanophlogite discovered at the same site, are classified as silica clathrates (clathrasils).
Methane hydrates form in cold seafloor environments when microbial gases meet seawater, accumulating as solids. However, they eventually dissociate into the atmosphere due to rising ocean temperatures or tectonic activity. Conversely, silica clathrates precipitate deep underground along faults at 50–80°C from groundwater rich in volcanic silica and thermogenic gases (initially dissolved at ~100°C). In nature, most silica clathrates have been overlooked because they typically lose their guest gases and transform into quartz. While stable up to 1,000°C in dry conditions, they slowly dissolve in hydrothermal solutions over geological timescales and recrystallize into less soluble quartz. This process preserves their original crystal morphology, forming a pseudomorph.

Cage-like Structures
Silica clathrates (clathrasils) are isostructural with natural gas hydrates and exist in three confirmed crystal structures based on the enclosed gas molecules: Type I (melanophlogite) with pentagonal dodecahedra (5¹²) and 14-hedra (5¹² 6²), Type II (chibaite) with pentagonal dodecahedra (5¹²) and 16-hedra (5¹² 6⁴), and Type H (bosoite) featuring pentagonal dodecahedra (5¹²), 12-hedra (4³ 5⁶ 6³), and 20-hedra (5¹² 6⁸). The cages have a diameter of approximately 1 nm (10⁻⁹ m, or one-millionth of a millimeter). Because the specific type of crystal structure that forms depends on the size and concentration of the gas molecules present, crystallization progresses in a distinct sequence: first melanophlogite, then chibaite, and finally bosoite. As bosoite develops, chibaite grows alongside it in a symbiotic manner. Among the three, melanophlogite is the most unstable yet the most abundant, whereas bosoite forms a crystal volume that is extremely small by comparison.
In contrast to clathrasils, zeolites are aluminosilicates composed of corner-sharing SiO₄ and AlO₄ tetrahedra. This linkage forms porous cage-like or channel-like frameworks that allow the dynamic exchange of water molecules, alkali, and alkaline-earth metal cations in solution. For instance, sodium-bearing zeolites adsorb radioactive cesium, calcium, or magnesium ions by releasing sodium ions. Conversely, silica clathrates feature fullerene-like convex polyhedral cages with near-100% gas occupancy. Due to their narrow apertures, guest molecules cannot easily enter or exit, rendering clathrasils ineffective for catalytic or adsorption applications. However, their charge-neutral frameworks provide exceptional stability; they resist decomposition up to 1,000°C in dry environments. They securely encapsulate ancient geological gases until the crystals slowly dissolve in hydrothermal solutions over extensive timescales. Consequently, these clathrates offer a novel proxy for understanding the subterranean carbon cycle within gas hydrate deposits.

-千葉県立中央博物館「房総の山のフィールド・ミュージアム」
-高田クリスタルミュージアム
-「結晶図作図法の概観と結晶図の描き方」高田雅介　鉱物学雑誌 第20巻 第1・2号43～54　1991年1・4月
-「石ころ博士入門」（高橋直樹＆大木淳一 著　全国農村教育協会2015年）
-千葉県の石　日本地質学会

-千葉県立中央博物館 平成 23 年度自然誌シンポジウム 新鉱物『千葉石 ちばせき 』 -その性質と成因-
-Momma,K., Ikeda, T., Nishikubo, K., Takahashi, N., Honma, C., Takada, M., Furukawa, Y., Nagase, T. and Kudoh, Y. "New silica clathrate minerals that are isostructural with natural gas hydrates." Nature Communications 2, 196, 2011.
-高橋直樹「新鉱物「千葉石」の発見」山形応用地質37号, p54-55, 山形応用地質研究会2017年
-門馬綱一「千葉県で発見された新鉱物『千葉石』」化学と教育64巻12号（2016年）
-Koichi Momma, Takuji Ikeda, Toshiro Nagase, Takahiro Kuribayashi, Chibune Honma, Katsumi Nishikubo, Naoki Takahashi, Masayuki Takada, Yoshitaka Matsushita, Ritsuro Miyawaki and Satoshi Matsubara. "Bosoite, a new silica clathrate mineral from Chiba Prefecture, Japan." Mineralogical Magazine 4, 941-948, 2020

千葉石 / Chibaite 門馬綱一氏撮影（本間千舟氏標本）*結晶平均径1~5mm程度

千葉県立中央博物館 平成 23 年度自然誌シンポジウム 新鉱物『千葉石 ちばせき 』その性質と成因 

図９．千葉石の結晶形態 [左：単結晶，右：双晶]（高田雅介作成）

千葉県立中央博物館 平成 23 年度自然誌シンポジウム 新鉱物『千葉石 ちばせき 』その性質と成因 

千葉石発見物語

「乳白色六角板状結晶」
　1998年、千葉県の南房総市荒川にある採石場「協栄産業」が埋め立て用の砂岩・泥岩を採掘するそばで、在野の化石研究家・本間千舟氏は夫婦でシロウリガイ・タマガイ・キララガイ・キヌタレガイ・ソデガイなどの貝化石やノジュール（化石や砂粒を核として岩石中の珪酸や炭酸塩などが集まり沈殿凝固したもの）・方解石・水晶・玉髄・めのう・オパール、そして奇妙な「乳白色六角板状結晶」を発見します。
　産出場所は、表層のほとんどが堆積層から成る千葉県において、房総半島南部の嶺岡耐帯およびその周辺に分布する「保田層群」（およそ2,300〜1,400万年前）はプレートの沈み込みで激しい変形や剪断を受けた地層で、全体的に破砕された火山由来の泥岩及び砂岩層を方解石脈や石英脈が貫く中で見出されたものでした。その近傍で発見されたシロウリガイに代表される化学合成二枚貝の化石は、1,000ｍを超える深海底の熱水噴出口や、プレートの沈込み帯に伴う冷湧水の周辺で、硫化水素やメタンをエネルギー 源とする化学合成細菌と共生していました。当時の日本はまだアジア大陸のへりに存在し、房総半島がどのような場所に位置していたかは不明瞭です。

「化晶」
　「千葉県でもアスベストが出る！これがアスベストだ！」（2005年7月9日～9月30日）、「結晶とガラス展　わたしたちが住んでいる地球は結晶と非結晶（ガラス）に分けられる！」（2006年3月11日～6月4日）、「海岸で石ころを拾おう！石ころ観察会　Ishikoro Woderland」（1999~2005まで隔年開催、2007年より毎年開催）。「石なし県」と呼ばれる千葉県の千葉県立中央博物館で石の展示や観察会に精力を傾ける地学研究科の高橋直樹氏は房総半島の岩石研究家。非生物系書籍「川原の石ころ図鑑」（渡辺一夫 著　ポプラ社2002年）異例の大ヒットに尻を叩かれるように、「博物館友の会」の石好きで結成した「ヒスイの会」メンバーを率いて千葉から関東・東北南部～中部地方まで集めてまわった岩石剥片を顕微鏡撮影して「石ころ博士入門」（高橋直樹＆大木淳一 著　全国農村教育協会2015年）を出版します。そして地学観察会に持ち込まれた「これまでに周辺で産出したどの鉱物とも異なる結晶」に地元ならではの勘で着目し、近くで多種類に産出される「沸石　Zeolite」の仲間と考えるものの、国立科学博物館にX線回折分析（XRD：X-ray Diffraction）を依頼すると、結果はありふれた「石英　Quarts」。石英でありながら先の尖った六角柱でないのは、房総半島に火山活動に伴う高温熱水が存在しないせいだろうか、何らかの「化晶　pseudmorph」（温度・圧力・化学的変化により外形を保ったまま成分が置換した鉱物）ではないだろうかと疑問を残しながら8年が経過します。

「切頂八面体」
　2006年、地学観察会に出入りする在野の鉱物研究家である西久保勝己氏が千葉県産「沸石　Zeolite」の形態について調べ上げた研究レポートを持ち込みます。それをきっかけに、「乳白色六角板状結晶」の形態を詳しく調べることで元の鉱物を推定できるかもしれないと結論。調査を依頼された高田クリスタルミュージアム館長・高田雅介氏は、京都の在野鉱物研究家で鉱物愛好家のための雑誌「地学研究」や「ペグマタイト」などを長年編集出版し、毎号必ず結晶形態の研究結果として自ら作図した、結晶面上の特徴や複雑な双晶（2つ以上の単晶が対称的な位置関係になる様に接合した結晶領域）を正確に捉えた美しい結晶図を掲載して目を引いていました。径数mm程度の結晶ひとつひとつについて、実体顕微鏡と反射測角器を用いて結晶面角度を測定、測定値の緯度・経度を鉱物固有の結晶軸に基づく面指数（10以下の整数）に変換、平面に斜視投影された結晶軸の位置と稜（晶帯軸）の方向を計算して結晶図を描きます。その結果、切頂八面体様の立法晶系（cubic crystal system：結晶軸全3本が同じ長さで互いに直交する）結晶が双晶（Double Crystal）して六角板状になっていることが示され、仮晶であることが確認されます。元鉱物の候補として挙げられたのは、立法晶系で化学組成がSiO₂に近い「クリストバル石（Cristobalite）」と「メラノフロジャイト（Melanophlogite）」。

「カゴ状構造」
　それなりに満足して生成過程について考えを巡らせる高橋氏に対して、「千葉県民としてはこのまま諦めるわけにいかない」西久保氏は日本新産出メラノフロジャイトを求めて「元の鉱物がそのまま保存されているであろう無色透明な結晶」を鋭い観察眼によって探し出します。再分析依頼をしたのは、シリカ鉱物を専門に研究する東北大学博士課程在籍中（のち国立科学博物館研究員）の門馬綱一氏。電子線微小分析装置（Electron Probe Micro Analyzer）により骨格組成はほぼシリカ（Silica　SiO₂）であること、ラマン分光分析（Raman spectroscopy）によりメタンガスが含まれていること、結晶X線解析（XRC：X-ray crystallography）によりメラノフロジャイトでない新鉱物であることを突き止めます。さらに、「沸石」の材料開発を研究する産業技術総合研究所東北センター研究員・池田卓史氏に粉末X線回折解析（PXRC：Powder X-ray diffraction）を依頼し、リートベルト解析（Rietveld Analysis）により5角12面体と5角12・6角4の16面体の結晶構造を同定、ラマンスペクトルの伸縮振動の比較によりメタン、エタン、プロパン、イソブタンなどの炭化水素が含まれていることを確認します。

「千葉石」
　「新鉱物」の定義は国際鉱物学連合（IMA: International Mineralogical Association）の新鉱物分類・命名委員会（Commission on New Minerals, Nomenclature and Classification）が厳密な審査と管理を行い、「化学組成」と「結晶構造」のどちらかまたは両方が既知の鉱物と異なるという２/３の賛成投票を得て「新鉱物」と承認されます。発見者は２年以内に国際誌に論文発表を行わなければならなりません。2008年秋に新鉱物申請を行い、最初の発見から11年目の2009年3月、「千葉石　Chibaite」認定（IMA No.2008-067）、2011年2月に論文発表されます（K. Momma et al. "New silica clathrate minerals that are isostructural with natural gas hydrates." Nature Communications 2, 196, 2011）。最大約5.3m東南東への地殻変動が観測された東日本大震災を挟んで同年、千葉石の仲間「メラノフロジャイト　Melanophlogite」が、地学観察会に出入りする在野の鉱物研究家・鴻田昌彦氏により木更津市畑沢の下総層群藪層ならびに南房総市荒川から日本新産出。続いて、千葉石の研究過程で見つかったきょうだい「房総石（Bosoite）」も2014年に新種認定されます（IMA No.2014- 023）。

黄金の華：花形十二面体 / Golden Flower: Flower Dodecahedron

-TOHRU OGAWA "Three-dimensional Penrose Transformation and the Ideal Quasicrystals" Science on Form 1986.

花形十二面体
Flower Dodecahedrn
1985
小川 泰
Tohru Ogawa
筑波大学・物理工学系
Tsukuba University, USA

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「５回対称模様」
　ダニエル・シェヒトマンらによる正二十面体対称性を持つブラッグスポットの発見（1984年）前に、結晶学者たちは五回対称性に美的関心を持っていました。理論物理学者の伏見康治は、周期性と両立しえない５回対称模様を試み、正５角形をできるだけ密に詰めた場合にできる隙間の種類が３種類だけだと突き止めます。言い換えると「４種類のタイルによる平面充填を世界に先駆けて示唆した」（1968年）。再帰的パターンの生成という別の視点から出発した数学者のロジャ ー・ペンローズが、五角形と密接に関連する2種類のタイルで非周期的な平面充填に到達（1974年）。結晶学者のアラン・マッケイは2種類の二等辺三角形からつくる五角形と三角形による階層的な平面充填（1975年）から「五角形雪片」を構築（1981年）、さらに鋭角と鈍角の黄金菱形6面体でペンローズ・タイリングの3次元変換を試みるとともに、ペンローズタイリングの模擬回折パターンを作成（2次元のペンローズタイルの頂点に穴をあけた2mm~5mm四方フォトマスクにレーザービームをあて光学回折実験装置で精密調整する）（1982年）。そして物性物理学者の小川泰は２次元ペンローズタイルの階層構造（辺長1の２種類の菱型タイル A と O を組み合わせて拡大変換した A*=2A+O また O*=A+O の辺長は黄金比 φ=(1+√5)/2 ）を３次元に拡張する方法を開発し、美しい「雪の結晶」を発見します（1985年）。

「雪の結晶」
　はじめに、2次元ペンローズ・タイルで正五角形を基に基本ベクトル5本を使ったように、3次元ペンローズ・タイルでは正二十面体に基づいて基本ベクトル6本を使います。この6本のベクトル（表裏計12本）から2本を選んで平行四辺形をつくると、対角線長比が黄金比 φ=(1+√5)/2=1.618… の黄金菱形となります。黄金菱形からつくられる尖った黄金菱形6面体（A₆）と平べったい黄金菱6面体（O₆）が３次元ペンローズ・タイリングを構成する基本単位で、それぞれの最長対角線比は Da/Do=φ³=2+√5=4.236…。これら２種類の黄金菱形6面体を隙間なく積み上げていくと、3回回転対称軸上の頂点の長さは、M x Da + N x Do （M, Nは整数）。するとM, N にフィボナッチ数列（1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… 直前の2項を足し合わせて次項をつくる）が現れたとき、34 x Da + 21 x Do また 55 x Da + 34 x Do 、辺の長さがφ³ 倍・体積が(φ³)³ 倍に拡大変換された黄金菱形6面体 A₆* （A₆*=55x A₆ +34x O₆）と O₆* （O₆*=34x A₆ +21x O₆）が構築され、巨大化したA₆* の骨格構造をのぞきこむとケプラーのひし形三十面体（K₃₀）、巨大化したO₆* の骨格構造には雪の結晶のような「花形１２面体」が浮かび上がります。「花形１２面体」は20個の尖った黄金菱形6面体 A₆ が最も尖った角を中央に集めるように美しく整列した構造で、準結晶の秘密を瞬くようにささやいています。

-OGAWA, T. (1985): On the structure of a quasicrystal-Three-dimensional Penrose transformation, J. Phys. Soc. Jpn., 54, 3205-3208.

"Fivefold Symmetry Patterns"
　Long before Dan Shechtman and his colleagues discovered Bragg spots with icosahedral symmetry in 1984, crystallographers held a deep aesthetic interest in fivefold symmetry. The theoretical physicist Koji Fushimi experimented with fivefold symmetry patterns—which were long considered incompatible with periodicity—and discovered that when regular pentagons are packed as densely as possible, only three types of gaps are generated. In other words, he was the first in the world to suggest a plane tiling using four types of tiles (1968). Departing from a different perspective based on the generation of recursive patterns, the mathematician Roger Penrose arrived at a nonperiodic plane tiling using just two types of tiles closely related to the pentagon (1974). Later, the crystallographer Alan Mackay constructed the "pentagonal snowflake" (1981) based on a hierarchical plane tiling made of pentagons and triangles derived from two types of isosceles triangles (1975). Furthermore, Mackay attempted a three-dimensional transformation of Penrose tiling using acute and obtuse golden rhombohedra, while also generating a simulated diffraction pattern of a Penrose tiling (shining a laser beam through a 2–5 mm square photomask with apertures at the vertices of a 2D Penrose tiling, precisely aligned using an optical diffractometer) in 1982. Following these breakthroughs, the solid-state physicist Tohru Ogawa developed a method to extend the hierarchical structure of the 2D Penrose tiling into three dimensions, discovering a beautiful 'snowflake' structure. (In the 2D tiling, combining two types of rhombic tiles, A and O with a side length of 1, yields A*=2A+O and O*=A+O, with a side length equal to the golden ratio phi=(1+√5)/2. )

"The Snowflake Structure"
　To begin with, just as the two-dimensional Penrose tile used five basis vectors based on a regular pentagon, the three-dimensional Penrose tile utilizes six basis vectors based on a regular icosahedron. By selecting two out of these six vectors (out of 12 directions in total, counting front and back), one can form a parallelogram. This shapes a golden rhombus whose diagonal ratio is the golden ratio φ=(1+√5)/2=1.618… . The fundamental building blocks constituting the three-dimensional Penrose tiling are the acute golden rhombohedron (A₆) and the obtuse golden rhombohedron (O₆), both formed from these golden rhombi. The ratio of their longest diagonals is (Da/Do = φ³ =2+√5=4.236…). When these two types of golden rhombohedra are stacked without any gaps, the length of the vertices along the three-fold rotational symmetry axis is expressed as (M x Da + N x Do) (where M and N are integers). When the Fibonacci sequence (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… where each term is the sum of the two preceding terms) manifests in M and N—such as (34 x Da + 21 x Do) or (55 x Da + 34x Do)—it constructs giant golden rhombohedra,  A₆* and O₆* , whose edge lengths are expanded by a factor of φ³ and volumes by (φ³)³ = φ⁹. The numerical relations are beautifully given by (A₆*=55x A₆ +34x O₆) and (O₆*=34x A₆ +21x O₆). Peering into the skeletal framework of the magnified A₆*, Kepler's rhombic triacontahedron (K₃₀) emerges. Meanwhile, looking into the magnified O₆* , a snowflake-like "flower dodecahedron" comes into view. This floret dodecahedron is a breathtakingly ordered structure where 20 acute golden rhombohedra (A₆) gather their sharpest corners at a single central point, whispering the ultimate secret of quasicrystal stability.

-SHECHTMAN, D., BLECH, I., GLATIAS, D. and CAHN, J. W. (1984): A metallic phase with long-ranged orientational order and no translational symmetry, Phys. Rev. Lett., 53, 1951-1953.
-伏見康治「紋様の科学　乱れ」『 数学セミナー』1968年6月号 p40-46
-PENROSE, R. (1974): The role of Aesthetics in pure and applied mathematical research, Bull. Inst. Math. & its Applns., 10, 266-271.
-Mackay AL (1975) Generalised crystallography. Izvj Jugosl Centr Krist (Zagreb) 10:15–36
- MACKAY, A. L. (1981): De nive quinquangula - On the pentagonal snowflake, Sov. Phys. Crystallogr., 26, 517-522.
-MACKAY, A. L. (1982): Crystallography and the Penrose pattern, Physica, 114A, 609-613.
-OGAWA, T. (1985): On the structure of a quasicrystal-Three-dimensional Penrose transformation, J. Phys. Soc. Jpn., 54, 3205-3208.
-TOHRU OGAWA "Three-dimensional Penrose Transformation and the Ideal Quasicrystals" Science on Form 1986.
-OGAWA, T. (1988): Symmetry of three-dimensional quasierystals, to be published in the Proceedings of the International Workshop on Quasicrystals (Aug. 30-Sept. 5, I987, in Beijing), Ed. K. H. Kuo, Trans Tech Publications Ltd., Switzerland.

六角返し&柔軟六角形 / Rokkaku-gaeshi & Hexaflexagon

-「ほんとうの幼児教育を求めて : 若い保育者と母親のために」高橋系吾 著 初教出版 1988.3

「六角返し」/ Rokkaku-gaeshi (Hexagonal Flip Toy)
江戸時代（1603年～1868年）
日本 JAPAN

柔軟六角形 / Hexaflexagon
Arthur Harold Stone / アーサー・H・ストーン
1939年
Princeton University USA / プリンストン大学　アメリカ

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「六角返し　Rokkaku-gaeshi (Hexagonal Flip Toy)」

　江戸時代頃から伝わる紙のからくり玩具に「六角返し」があります。表裏６つの正三角形で構成された正六角形の形をしていて、真ん中から裏返すと、面に描かれた模様が次々と繰り返し変わるというものです。つくりかたは、①細長い紙（縦横比が2:13以上）を縦に２つ折りして開きます。②中心線に角を合わせるようにしてもう一方の角を３等分して60度を折り出します。③続けて正三角形を表裏に繰り返し折って（びょうぶたたみ、蛇腹折り）10コ作ります。④端を切り落としてから重ねて、一番下の三角形を表にまわして一番上の三角形と糊で張り合わせます。⑤開くと正六角形になります。遊び方は、正三角形2コずつのペア３組が二重蝶番構造になっているので、その境目に隣接する２つの三角形を山折りにしてY字型にすると、中央から折り目に隠れていた面が自然と現れてきます。裏返して開いたり、裏側から開くこともできます。全ての面にある各三角形に非対称で異なる模様を描くと、全部で18種類の模様が三角形の中で動き回りさまざまに回転することに気づくことでしょう。

「柔軟六角形　Flexable Hexagon, Hexaflexagon」

　イギリス人大学院生のアーサー・H・ストーンがノートの切れ端からつくった「柔軟六角形　Flexable Hexagon」のつくりかたは、真っ直ぐ細長い紙で正三角形を９コ連続して折り曲げて切り取ります。三角形３つ目の折り目ごとに、時計回りまたは反時計回り（山折りまたは谷折り）に統一してひねって、三角形が２つずつ表裏に現れるようにして、元の紙切れの両端同士をテープで固定します。この「六角返し」を「３面折柔軟六角形　tri-Hexaflexagon」と名付けると、この謎を解明するために集まった、リチャード・P・ファインマン、ブライアント・タッカーマン、ジョン・W・テューキーら大学院生たちと、４面折以上について展開図や折り方を調べ始めます。真っすぐな紙帯をジグザグ形状に切り出した三角形１２コで「４面柔軟六角形　tetra-Hexaflexagon」、同じく三角形１５コで「５面柔軟六角形　penta-Hexaflexagon」、真っすぐな帯や六角形輪や三つ葉の３種類形状の三角形１８コで「６面柔軟六角形　hexa-Hexaflexagon」、「７面柔軟六角形 Hepta-Hexaflexagon」は三角形２１コで3種類の紙帯形状うち一つは2種類の折り方があるので全部で4種類、というように４８面折まで実際に動くモデルを作って検証しますが、真珠湾攻撃で中断。１０年後にマーチン・ガードナーの数学パズル記事でフレクサゴンブームが起こります。

（左）A:４面折　B:５面折　C:６面折（３種うち２種）　D:７面折３種　色は糊しろ

（右）６面折１種の折図　無数字は糊しろ

-"Hexaflexagons and other mathematical diversion" by Martin Gardner

「メビウスの輪」

　メビウスの帯と「柔軟六面体」は、位相幾何学（トポロジー）的な観点からは同一で構造が同じです。表に現れる N 面と各​​面に n 個の三角形を持ち、半ねじれ（180度）の数は 3N-n です。たとえば、「六角返し」「３面折柔軟六角形　tri-Hexaflexagon」は、表に現れる N=3 各面に n=6 個の三角形を持ち、3N-n=3×3-6=3 個の半ねじれ（180度）を持つので、180 x 3 = 540 度ひねっています。180度（半ねじれ）の奇数倍ひねって糊付けすると裏表のない平面になり、偶数倍ひねると裏表のある平面になります。メビウスの帯のねじれは紙の帯そのものとは独立していて、ねじれを帯に沿って移動させることもでき、逆にねじれを固定したまま帯を回転させることもできます。奇数個の半ねじれ（180度）を持つ「柔軟六面体」も、三角形の面を一切曲げることなく同様の操作ができます。偶数個の半ねじり（180度）を持つ「柔軟六面体」は表裏のある平面になるので、理論的には2つの独立したタッカーマン図を持ち、問題の「V字型回転」を繰り返すと、反転タッカーマン図に移行し、支配的な面と隠れた面が交換されることが分かっています。

「タッカーマン巡回」

　「３面折柔軟六角形　tri-Hexaflexagon」の最初に現れる面の三角形６コに１、次の面を２，その次の面を３と記入して開いてゆくと、面は常に同じ順序で現れます 123123123...。裏返すと順序は逆になります 321321321...。「６面柔軟六角形　hexa-Hexaflexagon」の１、２、３の面は４、５、６の面に比べて3倍の頻度で出現します。目的の面がななか出なくてイライラするときは、各面が現れる順序を図式化した「タッカーマン巡回」が便利です。裏側にある面、表側にある面、次に表へ出る面を、一つの三角形の頂点で表し経路をつないで矢印を示します。面を増やす場合は、次に表へ出る面に何通りの可能性があるか実験で見つけながら、同じ面で行き詰まった場合は蝶番を変えて別の三角形ペアを回転させ新しい面を探しながら、頂点に新しい三角形の経路と矢印を付け加えます。完成した地図上で可能な経路をたどれば、望む面をいつでも表に出せます。「３面折柔軟六角形　tri-Hexaflexagon」は１つの三角形、「４面柔軟六角形　tetra-Hexaflexagon」は頂点を共有する２つの三角形、「５面柔軟六角形　penta-Hexaflexagon」は頂点を共有する３つの三角形。経路の三角形が追加されるごとに 3 つの屈曲と 1 つの半ねじり（180度）回転が必要になり、次数 N の柔軟六角形について 屈曲 3+3x(N-3)=3N-6 回と回転 N 回となることが分かります。

「カタラン数」

　n 個の面を持つ規則的な柔軟六角形における折り畳みパターンの総数（鏡映と回転を含む）は、N = 2 で 1 つ、N= 3 で 2つ、N= 4 で 5 つ、N= 5 で 14 つ、N= 6 で 42 、N= 7 で 132 、N= 8 で 429 、N= 9 で 1430 、N= 10 以上で天文学的に増加し始め、N= 10 で 4860 、N= 11 で 16796 、N= 12 で 58786 、N= 13 で 208012 、N= 14 で 742900 …「カタラン数　Catalan number」 になります。面を構成する三角形の組み合わせ N + (N-1) = 2N-1 を数え上げると、Vɴ = [1 / (2N-1)] × ₙCₖ(2N-1, N) 。ここで N=n+1 と置き換えると、Vɴ = [1/(2n+1)] x ₙCₖ(2n+1, n+1) 。 ₙCₖ = n/k x ₙ₋₁Cₖ₋₁ より、Vɴ = [1/(2n+1) ] x [(2n+1)/(n+1)] x ₂ₙCₙ = [1/(n+1)] x ₂ₙCₙ 。カタラン数の公式となります。 1 ,2 ,5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900 …。「カタラン数」は「(n + 2) 辺の凸多角形を交差しない三角形に分割する方法は何通りあるか？」に対する答えでもあります。六角形の場合 n = 4なので、答えは 4 番目のカタラン数である 14 です。そして(n+1) 個の三角形の折り畳みパターンは n 番目のカタラン数で数え上げられます。

　タッカーマン図の各三角形を接続点に縮約すると、n-2個の接続点を持つグラフ（タッカーマンツリー）が得られます。「３面折柔軟六角形　tri-Hexaflexagon」は１つの点、「４面柔軟六角形　tetra-Hexaflexagon」は２つの点が線で結ばれ、「５面柔軟六角形　penta-Hexaflexagon」は３つの点が線で結ばれ、これらは (n+2) 角形の三角形分割上に描画することができます。さらに総三角形 (n+1) 個を折畳み向きで分けると、枝総数 2k （山折り・谷折り）、 分岐点 n 、枝先端 n+1 の二本木になり、その総数は ∑(k=0~n) [1/(2n − 2k + 1) ] x ₂ₙ₋₂ₖ₊₁Cₖ x ₂ₖCₙ₋ₖ =Cₙ 。ツリーの形状から組み合わせ式を一意に復元して、さまざまな種類の柔軟六角形の折り畳みパターンを数え上げることができます。

（左）「６面柔軟六角形　hexa-Hexaflexagon」３種うち１種のタッカーマントラバース

-Martin Gardner "Hexaflexagons and other mathematical diversion" 1959

（中央）「CATALAN NUMBERS」多角形三角形分割と３価の木

-Martin Gardner "Time Travel and Other Mathematical Bewilderments"1988

（右）「９面柔軟六角形 nona-Hexaflexagon」1430種うち1種の折畳パターンの折目向き（山・谷）分布

-David Callan "Flexagons Lead to a Catalan Number Identity" The American Mathematical Monthly Vol. 119, No. 5 (May 2012), pp. 415-419

Rokkaku-gaeshi (Hexagonal Flip Toy)

Rokkaku-gaeshi is a traditional paper mechanism toy from the Edo period. Shaped as a regular hexagon made of six equilateral triangles on both sides, flipping it inside out from the center makes the surface patterns change continuously. To make it, fold a long strip of paper (aspect ratio of 2:13 or more) in half lengthwise and unfold it. Align a corner with the center line and trisect the opposite corner to fold a 60-degree angle. Repeat accordion-folds to create ten equilateral triangles. Cut off the excess edges, stack them, and glue the first and last triangles together. Opening it creates a regular hexagon. To play, use its double-hinge structure of three triangle pairs. Mountain-fold two adjacent triangles into a Y-shape, and the hidden inner surface will naturally open from the center. You can also flip it or open it from the back. Drawing unique, asymmetrical patterns on each triangle reveals a total of 18 different patterns moving and rotating across the faces.

"Hexaflexagon (Flexible Hexagon)"

The "Flexible Hexagon" was created from notebook scraps by British graduate student Arthur H. Stone. To make it, cut a strip of nine consecutive equilateral triangles from a straight piece of paper. Twist it consistently clockwise or counterclockwise (using mountain or valley folds) at every third triangle crease so that pairs of triangles appear on both sides, then tape the ends together. Naming this hexaflexagon a "tri-Hexaflexagon," graduate students like Richard P. Feynman, Bryant Tuckerman, and John W. Tukey gathered to solve its mystery, investigating nets and folding methods for versions with four or more faces. They constructed working models up to 48 faces: a "tetra-Hexaflexagon" using 12 triangles from a zigzag strip, a "penta-Hexaflexagon" with 15 triangles, a "hexa-Hexaflexagon" with 18 triangles in straight, hexagonal, or clover shapes, and a "Hepta-Hexaflexagon" with 21 triangles forming four variations (one of the three strip shapes has two folding methods). Their validation was interrupted by the Pearl Harbor attack, but a decade later, Martin Gardner's mathematical puzzles article triggered a global flexagon boom.

"Möbius Strip"

From a topological perspective, the Möbius strip and the hexaflexagon are identical and share the same structure. A flexagon with N visible faces and n triangles per face has a half-twist (180-degree) count of 3N-n. For example, the tri-Hexaflexagon 3N-n=3×3-6=3 half-twists, meaning it is twisted by 180 x 3 = 540 degrees. Gluing a strip with an odd number of half-twists creates a non-orientable surface with no distinct front or back, while an even number results in an orientable surface with two distinct sides. A Möbius strip's twist is independent of the paper itself, allowing the twist to move along the band or the band to rotate through a fixed twist. Hexaflexagons with an odd number of half-twists allow identical movement without bending the triangular faces. Since hexaflexagons with an even number of half-twists form an orientable surface, they theoretically possess two independent Tuckerman diagrams; repeating the "V-shaped rotation" shifts the flexagon to the inverted Tuckerman diagram, swapping the dominant and hidden faces.

"Tuckerman Traverse"

If you number the initial faces of a tri-Hexaflexagon as 1, 2, and 3, they always appear in the repeating order of 1-2-3-1-2-3..., which reverses to 3-2-1-3-2-1... when flipped. In a hexa-Hexaflexagon, faces 1, 2, and 3 appear three times more frequently than faces 4, 5, and 6. To avoid frustration when searching for specific faces, the Tuckerman maps (traverse) out their exact order. This diagram uses the vertices of a triangle to represent the current front, back, and next visible faces, connecting them with arrows to show the path. When adding more faces, you map new paths by testing possible face changes; if you get stuck on a face, you change the hinge to rotate a different pair of triangles to find new faces. Following the paths on this completed map allows you to bring any desired face to the surface at any time. The map consists of one triangle for the tri-Hexaflexagon, two vertex-sharing triangles for the tetra-Hexaflexagon, and three vertex-sharing triangles for the penta-Hexaflexagon. Each added triangle path requires 3 folds and 1 half-twist rotation, meaning an N-faced hexaflexagon requires 3+3x(N-3)=3N-6 flexes and N rotations.

"Catalan Numbers"

The total number of folding patterns, including reflections and rotations, for a regular hexaflexagon with N faces follows the sequence of Catalan numbers, yielding 1 pattern for N=2, 2 for N=3, 5 for N=4, 14 for N=5, 42 for N=6, 132 for N=7, 429 for N=8, and 1,430 for N=9. For N ≧ 10, the values increase astronomically to 4,862 for N=10, 16,796 for N=11, 58,786 for N=12, 208,012 for N=13, and 742,900 for N=14… Counting the triangle combinations that form the faces using N + (N-1) = 2N-1 , the formula is Vɴ = [1 / (2N-1)] × ₙCₖ(2N-1, N) . Substituting N=n+1 yields Vɴ = [1/(2n+1)] x ₙCₖ(2n+1, n+1) , which simplifies via ₙCₖ = n/k x ₙ₋₁Cₖ₋₁ combinations to Vɴ = [1/(2n+1) ] x [(2n+1)/(n+1)] x ₂ₙCₙ = [1/(n+1)] x ₂ₙCₙ , generating the Catalan sequence of 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1,430, 4,862, 16,796, 58,786, 208,012, 742,900... This sequence also answers "how many ways an (n+2)-sided convex polygon can be divided into non-intersecting triangles"; for a hexagon n=4, the answer is the 4th Catalan number, 14, also meaning the folding patterns of n+1 triangles are counted by the n-th Catalan number.

Condensing each triangle of a Tuckerman diagram into a node creates a Tuckerman tree with n-2 nodes, where a tri-Hexaflexagon is a single node, a tetra-Hexaflexagon is two connected nodes, and a penta-Hexaflexagon is three connected nodes, all of which can be mapped onto the triangulation of an (n+2)-gon. Classifying the n+1 total triangles by their fold orientations results in a binary tree with 2k branches (mountain and valley folds), n branching points, and n+1 tips, summed as ∑(k=0~n) [1/(2n − 2k + 1) ] x ₂ₙ₋₂ₖ₊₁Cₖ x ₂ₖCₙ₋ₖ =Cₙ , allowing the folding patterns of various hexaflexagons to be uniquely counted by reconstructing the combinatorial formulas from the tree shapes.

-Yutaka Nishiyama "GENERAL SOLUTION FOR MULTIPLE FOLDINGS OF HEXAFLEXAGONS" International Journal of Pure and Applied Mathematics Volume 58 No. 1 2010, 113-124

-西山豊「たたみかえの数理」『理系への数学』37巻 2004年4月号

-西山豊「ヘキサフレクサゴンの一般解」大阪経大論集 第54巻第4号2003年11月

-C. O. Oakley and R. J. Wisner "Flexagons" The American Mathematical Vol. 64, No. 3 (Mar., 1957), pp. 143-154

-Martin Gardner "Mathematical Games: Flexagons" Scientific American, Vol. 195, No. 6 (December 1956)

-Martin Gardner "Time Travel and Other Mathematical Bewilderments" W. H. Freeman and Company1988

-Martin Gardner "Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions"  University of Chicago Press 1959

-A. S. Conrad and D. K. Hartline "The Flexagon" RIAS（Research Institute for Advanced Studies）1962

-R. F. Wheeler "The Flexagon Family" Cambridge University Press: 03 November 2016

-David Callan "Flexagons Lead to a Catalan Number Identity" The American Mathematical Monthly Vol. 119, No. 5 (May 2012), pp. 415-419

-Thomas Anderson, T. Bruce McLean, Homeira Pajoohesh, Chasen Smith "The combinatorics of all regular flexagons" European Journal of Combinatorics Volume 31, Issue 1, January 2010, p72-80

-T. Bruce McLean "V-Flexing the Hexahexaflexagon"

The American Mathematical Monthly Vol. 86, No. 6, 1979, pp. 457-466

-Ionut E. Iacob, T. Bruce McLean, and Hua Wang "The V-flex, Triangle Orientation, and Catalan Numbers in Hexaflexagons", Mathematical Assoc. of America College Mathematics Journal 43:1 September 28, 2011

-Les Pook "Flexagons Inside Out" Cambridge University Press 2003

Germany

「憂鬱よ去れ」デューラーの立体 / "Melencolia I": Dürer's Solid

"Die Melancholie - Melencolia I"  Albrecht Dürer (1471-1528)　Museen der Stadt Nürnberg 

Dürer's Solid
デューラーの立体
1514
Albrecht Dürer (1471-1528)
アルブレヒト・デューラー

「デューラーの立体」
　ドイツ・ルネサンス期の画家アルブレヒト・デューラー（1471-1528）の代表作の一つ「Melencolia I / 憂鬱 I」版画中央の多面体は、各面が菱形である六面体（菱面体）の両端を長軸に垂直な平面で切り落とした形で、各面の菱形の鋭角について（一番尖った角）、黄金比や方解石結晶に関連させて７２度、透視図法を再構成して８０度、「Anamorphosis　歪画像」による９０度などの説があります。2005年、美学・美術史研究者の石津秀子（Hideko Ishizu）氏は、多面体表面の縦長の骸骨のような「汚れ」に注目、左下から斜め上に覗き込むと多⾯体は切頭⽴⽅体のように⾒えることに気付きます。多⾯体は歪みなく遠近法的に正しいように⾒えるものの、ある⽐率で垂直⽅向に拡⼤されており、菱面体の鋭角を８０度として計算すると1.277倍程度で「The Delian Problem　デロス問題」の近似値だといいます。

「デロス問題」
　ギリシャ神話によると、疫病に苦しむアテナイ人が、神々をなだめて疫病を終わらせようとデロス島の神託を求めると、アポロン神への祭壇の大きさ（体積）を2倍にするように助言されます。アテナイ人は、元の祭壇の線形寸法を2倍にしたので元の祭壇の8倍の大きさ（体積）になり、神々は不満を抱いて疫病は衰えることなく広がり続けたといいます。これに因む「The Delian Problem　デロス問題」と呼ばれる幾何学問題は、元の立方体の体積の2倍の体積を持つもうひとつの立方体をコンパスと定規を使って作図するというもので、x³ = 2　∴x = ³√2 ≒ 1.2599 。デューラーの多面体の拡大比率との誤差は約1.34%と肉薄し、デューラーは幾何学の難問を芸術家の手法を用いて視覚化して解いたことになります。y軸方向に「Anamorphosis　歪画像」化された xy 平⾯において x 座標は⼀定のままなので、斜めから⾒ると元の図形が現れるというわけです。デューラーと同時代のヨアヒム・カメラーリウス （1500-1574）はこの多面体を「quadratum saxum　正⽅形の⽯の塊」と呼び、デューラーの他の作品に直方体である煉瓦を積み重ねた同形状が描かれていることなども石井氏は指摘しています。　

「魔法陣」
　ユークリッドの写本を所有し、⽐例に関する論⽂を書いて⾼く評価されているデューラーは、遠近法を正確に描く方法を本に著し「遠近法測定装置（写生器）」まで考案しており、デューラーの弟⼦であるエルハルト・シェーンは「Anamorphosis　歪画像」の最初期作品を手掛けています。絵画や彫刻よりもはるかに安価で複製も容易な版画の販売戦略として、広範囲の数学また美術の愛好家に手を伸ばすために、デューラーは様々な謎解きを作品の中にちりばめたと考えられています。2025年、数学史・幾何学・記号表現の独立研究家 Jan Mirsbach（ヤン・ミアスバッハ）は、魔方陣からフィボナッチ数列 34 と 21 （各列は13+21に分割され、各行は最下行を除いて13+21に分割される。）を取り出し、34/21=1.619047… （黄金比 φ =1.618033… と 0.001 程度のずれ）の比率で半径R3 < R1 < R2 の 3 つの同⼼円を定義（R2 = R1 × (34/21) およびR3 = R1 / (34/21) ）。円に内接また外接する断面図を作図し、球に内接また外接する美しいデューラーの立体を作製しています。

Truncated cube (by Hideko Ishizu) & 2 iterations and 2 spheres (by Jan Mirsbach) 

"Dürer's Solid"
The polyhedron central to Melencolia I (1514), one of the definitive masterworks by German Renaissance master Albrecht Dürer (1471–1528), is a hexahedron with rhombohedral faces (a rhombohedron) whose opposing vertices are truncated by planes perpendicular to its principal axis. Regarding the acute angles of these rhombic faces, several competing hypotheses exist: a 72-degree theory that links the form to the golden ratio or calcite crystal structures; an 80-degree theory derived from the geometric reconstruction of its perspective projection; and a 90-degree theory rooted in anamorphosis (distorted projection). In 2005, aesthetics and art history scholar Hideko Ishizu turned her attention to a vertically elongated, skull-like "smudge" on the polyhedron's surface. She discovered that when viewed obliquely from the lower-left toward the upper-right, the polyhedron transforms visually into a truncated cube. While the polyhedron appears perspectively correct and free of distortion at first glance, it has actually been vertically stretched by a specific ratio. Calculated with an assumed rhombic acute angle of 80 degrees, this vertical expansion factor is approximately 1.277, a value that closely approximates the solution to The Delian Problem.

"The Delian Problem"
According to Greek mythology, when the citizens of Athens were ravaged by a plague, they sought an oracle at Delos to appease the gods and lift the pestilence. The oracle instructed them to double the size (volume) of the altar dedicated to Apollo. However, because the Athenians mistakenly doubled the altar's linear dimensions, they increased its volume eightfold, causing the displeased gods to let the plague spread unabated. Derived from this legend, the geometric challenge known as The Delian Problem (or doubling the cube) requires constructing a second cube with exactly twice the volume of a given cube using exclusively a compass and a straightedge. This legend is the origin of the classical geometric challenge known as The Delian Problem, which requires constructing a cube with exactly twice the volume of a given cube using only a compass and a straightedge (expressed algebraically as x³ = 2　∴x = ³√2 ≒ 1.2599 ). The discrepancy between this mathematical constant and the expansion ratio of Dürer’s polyhedron is extraordinarily narrow at roughly 1.34%, suggesting that Dürer successfully visualized and resolved this notorious geometric challenge through an artistic methodology.
Within an xy-plane anamorphically stretched along the y-axis, the x-coordinates remain constant, meaning the original, undistorted geometry naturally re-emerges when viewed from the correct oblique angle. Joachim Camerarius (1500–1574), a contemporary of Dürer, famously referred to this polyhedron as a "quadratum saxum" (a square block of stone). Ishizu also notes that this exact same geometry, represented by stacks of rectangular bricks, appears across several other works by Dürer.

"The Magic Square"
Dürer, who owned manuscripts of Euclid and earned high acclaim for his own treatise on human proportion, also authored an influential text on the mechanics of perspective and even invented a "perspective measurement device" (drawing apparatus). His pupil, Erhard Schön, would go on to pioneer some of the earliest known works of anamorphic art. It is widely considered that Dürer embedded these intricate riddles into his compositions as a deliberate commercial strategy; because prints were vastly cheaper and easier to replicate than paintings or sculptures, these mathematical puzzles allowed him to capture a broader market of both scientific intellects and art enthusiasts. In 2025, Jan Mirsbach, an independent researcher in the history of mathematics, geometry, and semiotics, extracted the Fibonacci numbers 34 and 21 from the magic square, where each column is divided into 13 and 21, and each row, except for the bottom one, is also divided into 13 and 21. Using these, he defined three concentric circles with radii of R3 < R1 < R2 based on the ratio of 34/21=1.619047… , which deviates from the golden ratio φ =1.618033… by only about 0.001, specifically setting R2 = R1 x (34/21) and R3 = R1 / (34/21). By constructing cross-sectional diagrams inscribed in and circumscribed about these circles, he has created a beautiful Dürer's solid inscribed in and circumscribed about the spheres.

-"Die Melancholie - Melencolia I"  Albrecht Dürer (1471-1528), Museen der Stadt Nürnberg
-ISHIZU Hideko "The Japanese Society for Aesthetics / 179 Another Solution to the Polyhedron in Dürer’s Melencolia: A Visual Demonstration of the Delian"  AESTHETICS No.13 (2009)
-Jan Mirsbach "Harmony and Proportion in Dürer’s Melencolia I: A Historical Reconstruction of the Polyhedron via the Ratio 34:21." SSRN（Social Science Research Network)13 Aug 2025

SPAIN

ジッパー付きプリズム：スクートイド / Prism with a zipper : Scutoids

スクートイド / Scutoids

-Gómez-Gálvez, P. et al. Scutoids are a geometrical solution to three-dimensional packing of epithelia. Nature Communications (2018).

スクートイド / Scutoids
Pedro Gómez-Gálvez et al.
2018
セビリア大学細胞生物学部門・セビリア生物医学研究所　スペイン
Departamento de Biología Celular of Universidad de Sevilla, Instituto de Biomedicina de Sevilla (IBiS), Spain

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「奇妙な形」
　生物学者たちは「スクートイド（Scutoids）」と呼ばれる新たな形を発見しました。胚の発生過程では、ほんの一握りの細胞からなる単純な構造から、非常に複雑な器官を持つ生物へと変化します。この過程は、生物の成長だけでなく、上皮細胞が移動して結合し、正しく組織化されて器官に最終的な形を与えます。皮膚、腸、血管、臓器の表面を覆う上皮細胞は、生物を構成する「構成要素」です。胚発生中にかなり極端な屈曲や湾曲をする必要があります。また、完全に平らな表面であれば、柱状、角柱状、立方体状の細胞を十分に密集させることで強力なバリアを形成できますが、完全に平らな表面はほとんど、あるいは全く存在しません。これまでこれらの「ブロック」はプリズム状あるいは切頭ピラミッド状であるとされてきました。しかし、研究者らが「ボロノイ図 / Voronoi Diagram」と呼ばれる数学手法を用いてコンピューターシミュレーションモデル（Epithelia3D by MATLAB）を作成し、湾曲する上皮細胞がどのように密集しているかを調べた結果、その立体形状は全く新しい形状をとることを発見しました。「曲率があるところにはスクトイドが存在する」

「ボロノイ図（Voronoi Diagram）」
　「ボロノイ図（Voronoi Diagram）」は、平面上に配置された各対象点に最も近い領域で平面を多角形分割する手法で、細胞が隙間なく並ぶパターンを数学的に再現します。ボロノイ図を描く手順は、①平面上に「母点（Seed）」を配置する。②隣接する母点同士を直線で結ぶ。③それらの直線の垂直二等分線を引く。④不要な線を取り除き、凸多角形を形成する。
　研究者たちは円筒状上皮構造について内側と外側の表面を模倣したボロノイ図を作成すると、それぞれの表面で隣接細胞の配置が異なることを発見します。内側表面で隣り合う細胞同士が外側表面では離れ、逆に内側表面で離れる細胞同士が外側表面で隣り合うのです。チューブの軸方向に沿って隣接する母点間の距離は内外表面で同じである一方、チューブの周方向に沿って隣接する母点間の距離は外側表面で増加するためです。従来の角錐台形（Pyramidal Frustum）モデルで一致しないので、内外表面の間に別の頂点が存在すると仮説を⽴て「スクートイド（Scutoids）」発見に至ります。さらに研究チームは、共焦点イメージング技術を用いて、ショウジョウバエの発生中の胚においてスクートイドを特定することに成功します。

「線張力（Line Tension）」
　「スクートイド（Scutoids）」は、ほぼ平行する2つの面で囲まれた角柱のような幾何学的立体でありながら、２つの境界面の頂点数また多角形面種が異なり、上下軸に沿って少なくとも1つの頂点を持ち、そこで平行断面の多角形状が切り替わり、隣接パターンを変化させながら湾曲した3次元層を埋めます。
　「スクートイド（Scutoids）」が出現するのは、２つの境界面間の曲率比異方性によって表面積比の変化が引き起こされ、最終的に細胞の縦横比の変化につながるときです。球状ボロノイドモデルでは内側から外側への表面拡大・縮小は等方的で縦横比は変化しないので、細胞は全て角錐台形になります。内外表面の曲率比（表面積比）は Rb/Ra（Ra：内側面曲率半径、Rb：外側面曲率半径）、縦横軸方向（h, w）の表面比異方性は (Rbh/Rah) / (Rbw/Raw) -1 で表します。
　細胞間接着に関与するカドヘリン、アクチン・ミオシン活性によって駆動する線張力（Line Tension：細胞同士の境界線をできるだけ短くしようとする力）エネルギーの数式モデルは、E = σ[lw+2√{(w-lw)²+h²}]H(lw)H(w-lw) + σ[lh+2√{(h-lh)²+w²}]H(lh)H(h-lh) 。縦また横方向の境界線長さに線張力 σ と単位ステップ関数 H(x) （ x<0 のとき0, x>0 のとき1）を掛け合わせ、境界線が短くなる細胞配置ほどエネルギーが低くなります。外側-内側方向に垂直な任意平面における４細胞充填配置を四角形で囲み、横幅 w と 縦長 h の縦横比 ϵ=h/w について、 ϵ<1/√3​ で lw 配置（左右の２細胞が手を結び、上下の２細胞が離れ、横方向境界線 lw を共有）のみ安定し、 ϵ>√3 で lh 配置（上下の２細胞が手を結び、左右の２細胞が離れ、縦方向境界線 lh を共有）のみ安定し、1/√3 < ϵ < √3 で lw 配置と lh 配置の両方が安定します。そして不安定な四重点配置（4細胞が1点で接する Iw = Ih =0 ）を越えて、lw​ から lh​ または Ih から Iw へ遷移すると、細胞は「スクートイド（Scutoids）形状になります。

「スクートイドシャボン」
　なぜ自然界は細胞に「スクートイド（Scutoids）」を詰め込むのでしょうか？組織の曲率が増加するにつれて、上皮細胞が角柱状や角錐状だけでなく、スクトイド形状をとるのは、組織が湾曲してエネルギーを最小限に抑え、より安定しようとする傾向があるからです。少なくとも一部の細胞がスクトイドの形状をとる場合に、接触する境界の全長が最小となり、密集が最も効率的になります。
　シャボン玉（石鹸泡）を作る実験では、大小２つの2つの同心円ガラス筒状の表面間に石鹸水の水位を繰り返し上げ下げしながら 水槽用ポンプでガスを吹き込み、均一な大きさの気泡の再配置を繰り返して高確率で「スクートイド（Scutoids）」をつくることに成功しています。上下に7角形と6角形、上下に6角形と5角形を持つスクートイドシャボン同士が小さな三角形を隔てて隣り合う様子が確認されています。
　ドーム状の建築屋根構造等に応用し有限要素法で構造解析を行った研究では、従来の直線的なトラス構造と比較して、「スクートイド（Scutoids）」のトポロジーを取り入れることで、重量の増加を最小限に抑えつつ（重量は24.86%増加）、剛性を平均11%増加させ、構造の変形を平均26.51%減少させ、応力は平均21.44%低減させられることを証明しています。

スクートイドシャボン  / Scutoids soap babbles

A. Mughal,S.J. Cox,D. Weaire,S.R. Burke &S. Hutzler "Demonstration and interpretation of ‘scutoid’ cells formed in a quasi-2D soap froth" Philosophical Magazine Letters Volume 98, Issue 8, 07 Dec 2018

“A Strange Shape”

Biologists have discovered a new shape called the scutoid. During embryonic development, an organism transforms from a simple structure made up of just a handful of cells into one with highly complex organs. This process involves not only the growth of the organism, but also the movement, adhesion, and organization of epithelial cells, which ultimately give organs their shape. Epithelial cells—the building blocks of organisms—cover the skin, intestines, blood vessels, and organ surfaces. During embryonic development, they must undergo considerable bending and curvature. On a perfectly flat surface, columnar, prismatic, or cuboidal cells can pack tightly together to form a strong barrier. But perfectly flat surfaces are rare, if they exist at all. Until now, these cellular “building blocks” were thought to be prism-shaped or truncated pyramids. However, when researchers used a mathematical method called a Voronoi diagram to create computer simulation model （Epithelia3D by MATLAB）and investigate how cells pack in curved epithelia, they found that the cells can take on an entirely new three-dimensional shape. “Where you have curvature, you have scutoids.”

“Voronoi Diagram”

A Voronoi diagram divides a plane into polygonal regions, assigning each region to the point closest to it. This method can mathematically reproduce patterns in which cells are packed without gaps. To construct a Voronoi diagram: (1) place seed points on a plane; (2) connect neighboring seed points with straight lines; (3) draw the perpendicular bisectors of those lines; and (4) remove the unnecessary lines to form convex polygons.
When researchers created Voronoi diagrams for the inner and outer surfaces of a cylindrical epithelial structure, they found that the arrangement of neighboring cells differed between the two surfaces. Cells that were neighbors on the inner surface were no longer neighbors on the outer surface; conversely, cells that were separated on the inner surface became neighbors on the outer surface. This happens because the spacing between neighboring seed points remains the same along the tube’s axis, while the spacing between seed points around the circumference increases toward the outer surface. The conventional truncated-pyramid model could not account for this mismatch. The researchers therefore hypothesized that an additional vertex existed between the inner and outer surfaces, leading to the discovery of the scutoid. The team used confocal imaging techniques to successfully identify scutoids in developing embryos of fruit flies.

“Line Tension”

Scutoids are prism-like geometrical solids bounded by two roughly parallel surfaces. However, the two surfaces can have different numbers of vertices and different polygonal shapes. A scutoid has at least one vertex along its height, where the polygonal cross-section changes and the pattern of neighboring cells shifts. This allows cells to fill a curved three-dimensional layer.
Scutoids appear when curvature anisotropy between the two bounding surfaces causes the surface-area ratio to change, ultimately altering the cells’ aspect ratios. In a spherical Voronoi model, the surface expands or contracts isotropically from the inner surface to the outer one, so the aspect ratio does not change and all cells are truncated pyramids. The ratio of the inner and outer surface curvature radii is Rb/Ra​, where Ra​ is the curvature radius of the inner surface and Rb that of the outer surface. Surface-ratio anisotropy in the height and width directions, hh and ww, is expressed as (Rbh/Rah)/(Rbw/Raw)−1. 
A mathematical model of line-tension energy—driven by cadherins involved in cell adhesion and by actomyosin activity—describes how cells tend toward configurations that shorten their shared boundaries: E = σ[lw+2√{(w-lw)²+h²}]H(lw)H(w-lw) + σ[lh+2√{(h-lh)²+w²}]H(lh)H(h-lh).
The model multiplies the length of the boundary in the horizontal or vertical direction by the line tension σσ and the unit step function H(x), which is 0 for x<0 and 1 for x>0. Cell arrangements with shorter boundaries therefore have lower energy.
Consider a four-cell packing motif enclosed by a rectangle in a cross-section perpendicular to the outer-to-inner direction. Let its width be w, its height be h, and its aspect ratio be ϵ=h/wϵ=h/w. When ϵ<1/3​, only the lw​ arrangement is stable: the two cells on the left and right share a boundary of length lw​, while the two cells above and below are separated. When ϵ>3​, only the lh​ arrangement is stable: the upper and lower cells share a boundary of length lh​, while the cells on the left and right are separated. For 1/√3 <ϵ< √3 , both arrangements are stable. When the configuration transitions from lw​ to lh​, or vice versa, through the unstable fourfold vertex where lw=lh=0, the cells can take on a scutoid shape.

“Scutoid Bubbles”

Why does nature pack cells into scutoids? As tissue curvature increases, epithelial cells can take scutoid shapes rather than only columnar or pyramidal ones. This is thought to help the tissue curve while minimizing energy and achieving greater stability. When at least some cells adopt scutoid shapes, the total length of the boundaries in contact is minimized, making the packing more efficient.
In soap-bubble experiments, researchers repeatedly raised and lowered the level of soapy water between two concentric cylindrical glass surfaces—one larger and one smaller—while blowing in gas with an aquarium pump. By repeatedly rearranging bubbles of uniform size, they were able to produce scutoids with high probability. They observed scutoid bubbles with a heptagon and a hexagon on opposite ends, as well as ones with a hexagon and a pentagon, neighboring each other across small triangular faces.
A study applying scutoid topology to structures such as domed architectural roofs used finite-element analysis. Compared with conventional, straight truss structures, incorporating scutoid topology increased stiffness by an average of 11%, reduced structural deformation by an average of 26.51%, and lowered stress by an average of 21.44%, while increasing weight by 24.86%.

-Gómez-Gálvez, P. et al. Scutoids are a geometrical solution to three-dimensional packing of epithelia. Nature Communications (2018).
-MATLAB
-Epithelia3D
-A. Mughal,S.J. Cox,D. Weaire,S.R. Burke &S. Hutzler "Demonstration and interpretation of ‘scutoid’ cells formed in a quasi-2D soap froth" Philosophical Magazine Letters Volume 98, Issue 8, 07 Dec 2018
-Prashanta Dhimal a , Hikmat Raj Joshi b "Use of Scutoid Inspired Geometry in Curved Surface of Revolution" Proceedings of 12th IOE Graduate Conference p2350-8906 Volume12,  October 2022

USA

かじられたゾーン多面体：螺旋多面体 / Bitten Zonohedra: Spirallohedra

Towle R. (2002) "Stellation and Zonotopal Tilings, Symmetry" Culture and Science, 13, 1-2, 121-128.

螺旋多面体
Spirallohedra
2000
独学研究者　ラッセル・タウル
Independent Scholar　Russell Towle
米国カリフォルニア州シエラネバダ山奥の六角形の家
Hexagonal house in a remote part of the Sierra Nevada mountains of California
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　数学の新しいツール「Mathematica」（計算科学処理ソフトウェア）を駆使して幾何学の世界を探求していた独学者ラッセル・タウルは、優雅で美しい螺旋状の翼を持つ多面体を発見します。

　彼が研究していた極性ゾーン多面体（Polar Zonohedra）は、2つの尖った極があるアメリカンフットボールを引き延ばしたり押しつぶしたり膨らませたりしたようなカタチで、高次元の多面体である超立方体（Hypercube）が３次元投影として現れた特別なゾーン多面体（Zonohedra）です。構成する無数の菱面体（菱形六面体）から特定のセルを慎重に取り除くことで、螺旋多面体（Spirallohedron）にたどりつきます。k個（kは2より大きい整数）の螺旋表面に囲まれ、k次（360°/kの回転対称性）の対称軸を持ち、キラルな（鏡像と重ね合わせることができない）非凸多面体です。

　「ひし形で敷き詰められた正2n角形の周縁部から2つまたは3つのひし形領域をかじる（bites）と、ひし形で敷き詰められた非凸多角形「かじられたゾノゴン（bitten zonogons）」はどちらも平面を充填する」。このアイディアを３次元に拡張して、「かじられたゾーン多面体（bitten Zonohedra）」である3翼および4翼の螺旋多面体（Spirallohedron）が空間充填することを見つけます*。そこでさらに、対称軸に垂直な断面から得た正k角形のうち「辺同士がぴったり重ならない」タイリング*を発見したことから、より高次元の４次元で空間充填すると「面同士がぴったり重ならない」３次元空間充填が得られることを示唆しています。

Using a new mathematical tool, the computational software Mathematica, independent scholar Russell Towle explored the world of geometry and discovered a class of elegant and beautiful polyhedra with spiral-shaped wings.

The objects he was studying were Polar Zonohedra, which are special kinds of zonohedra that appear as the three-dimensional projection of a higher-dimensional polyhedron, Hypercube. Their shape resembles an American football that has been stretched, squashed, or inflated. By carefully removing specific cells from the countless rhombic faces (rhombohedra) that make them up, he arrived at the Spirallohedron. This is a new geometric structure: a chiral (non-superimposable on its mirror image), non-convex polyhedron surrounded by k spiral surfaces (where k is an integer greater than 2) and possessing a k-fold (360°/k rotational) symmetry axis.

He discovered that "when you 'bite' two or three rhombic regions from the periphery of a regular 2n-gon tiled with rhombi, the resulting non-convex polygons—which he called bitten zonogons—can both tile a plane." He extended this idea into three dimensions to find that the 3-winged and 4-winged spirallohedra, which are bitten zonohedra, can fill space. From this, he further deduced that the regular k-gons obtained from a cross-section perpendicular to the symmetry axis form a tiling where the edges do not perfectly meet. This suggests that a higher-dimensional space-filling in four dimensions would result in a three-dimensional space-filling where the faces do not perfectly meet.

-Russell Towle "Rhombic spirallohedra" Volume 11, Numbers 1-4, pages 293-306 (2000)

-Towle R. (2002) "Stellation and Zonotopal Tilings, Symmetry" Culture and Science, 13, 1-2, 121-128.

-Michel Petitjean. Spirallohedra and Space Filling. A Tribute to Russell Towle.. Symmetry: Culture and Science, 2008, 19 (1), pp.5-8. ffhal-01941511f

-Stephen Wolfram (2008), "Russell Towle: 1949–2008," Stephen Wolfram Writings. writings.stephenwolfram.com/2008/10/russell-towle-1949-2008. 

火焔型土器：四面体対称性のゴールドバーグの立体 / Tetrahedrally Symmetric Goldberg Polyhedra

-"Fourth class of convex equilateral polyhedron with polyhedral symmetry related to fullerenes and viruses", Schein and Gayed, PNAS 111(8): 2920-2925 (2014)

四面体対称性のゴールドバーグの立体
Tetrahedrally Symmetric Goldberg Polyhedra
2014
米国カリフォルニア大学
Department of Psychology, University of California, Los Angeles, CA 90095

火焔型土器

　ゴールドバーグの立体は、対称性の高い美しい立体です。頂点は3価で(頂点から3本の辺が出る)、面は三角形と六角形(四面体対称の場合)、または四角形と六角形(八面体対称の場合)、または五角形と六角形(二十面体対称の場合)です。簡単にイメージすると、正四面体(三角形×4)、正六面体(四角形x6)、正十二面体(五角形×12)から出発して、各面を互いに引き離して隙間を作り、そこに六角形を3価で対称的に加えて作ることができます。六角形の数はどんどん増やせますので、ゴールドバーグの立体は無限に続きま ・アルキメデスの立体も幾つか含まれていて(切頂四面体、切頂八面体、切頂二十面体)、これらは面が平坦で窪みのない立体(凸多面体)です。しかし、ほとんどの場合、正多角形でゴールドバーグの立体を作ると面が曲がってしまうのです(凸多面体ではない)。これでは、プラトンの立体、アルキメデスの立体、ケプラーの菱形多面体のような、辺の長さが同じで対称性が高い凸多面体の仲間に入れてもらえません。そこでこの論文は、辺の長さは同じに保ったまま、 六角形の内角だけを調節することで、凸多面体が得られることを示しました。つまり、辺の長さが同じで対称性が高い新しいクラスの凸多面体がここに誕生しました。下の図は、論文に記載された六角形の内角を調節していない立体の例で、 正三形と正六角形で作ることができる面が大きく曲がった四面体対称のゴールドバーグの立体です。

*Goldberg (1937), Tohoku Math 43: 104-108
*Cusper and Klug (1962), Cold Spring Harb Symp Quant Biol 27: 1-24

四面体対称のゴールドバーグの立体

　3価で三角形と六角形からなる四面体対称の立体です。正四面体から始まり、 無限にあります。三角形は常に4つで、六角形の数が異なります。三角形の位置はちょうど正四面体の頂点部分にあたり、その間を六角形で均等に埋めた形です。大雑把に見ると正四面体のようです。一つの三角形をスタートして、『 面づたいにm面直進し、60度向きを変えてn面直進すると、最寄りの三角形にたどり着きます。このとき、I型はmまたはn=0、II型はm=n、III型は m≠ nです。III型のみ鏡像体があり、ねじれた外観です。特にII型と III 型は変化に富んでいて、ダイナミックに見えます。(m,n)=(1,0)はI型で正四面体です (V4[34]F4[34])。(m,n)=(1,1)はII型で切頂四面体です (V12[312]F8[3464])。図に示した (m,n)=(1,2)は III 型で、鏡像体は(m,n)=(2,1)です(ともにV28[328]F16[34612])。切頂四面体をひねったような形で、ひっくり返すと燃え上がる炎のように見えます。

*"Fourth class of convex equilateral polyhedron with polyhedral symmetry related to fullerenes and viruses", Schein and Gayed, PNAS 111(8): 2920-2925 (2014)

"Flame-shaped Doki (Pottery)"

Goldberg polyhedra are beautiful solids with high symmetry. Their vertices are trivalent (three edges extend from each vertex), and their faces are triangles and hexagons (in the case of tetrahedral symmetry), or squares and hexagons (in the case of octahedral symmetry), or pentagons and hexagons (in the case of icosahedral symmetry). To easily visualize them, you can start from a regular tetrahedron (4 triangles), a regular hexahedron (6 squares), or a regular dodecahedron (12 pentagons), then pull each face apart to create gaps, and symmetrically add trivalent hexagons into these spaces. Since the number of hexagons can be increased indefinitely, Goldberg polyhedra continue infinitely. Some Archimedean solids are also included (truncated tetrahedron, truncated octahedron, truncated icosahedron), and these are convex polyhedra with flat faces and no indentations. However, in most cases, when Goldberg polyhedra are made from regular polygons, their faces become curved (they are not convex polyhedra). In this state, they cannot be included among Platonic solids, Archimedean solids, or Kepler's rhombic polyhedra, which are convex polyhedra with equal edge lengths and high symmetry. Therefore, this paper demonstrated that convex polyhedra can be obtained by adjusting only the internal angles of the hexagons while keeping the edge lengths the same. In other words, a new class of convex polyhedra with equal edge lengths and high symmetry was born here. The figure below shows an example of a polyhedron described in the paper where the internal angles of the hexagons have not been adjusted; it is a tetrahedral Goldberg polyhedron made of regular triangles and regular hexagons, with significantly curved faces.

Tetrahedrally Symmetric Goldberg Polyhedra

These are tetrahedrally symmetric solids composed of trivalent triangles and hexagons. They start from a regular tetrahedron and exist infinitely. There are always 4 triangles, and the number of hexagons differs. The positions of the triangles correspond exactly to the vertices of a regular tetrahedron, with hexagons evenly filling the spaces between them. Roughly speaking, they resemble a regular tetrahedron. Starting from one triangle, if you move m faces straight along the surface and then turn 60 degrees and move n faces straight, you will reach the nearest triangle. In this case, Type I is when m or n=0, Type II is when m=n, and Type III is when m=n. Only Type III has a mirror image and a twisted appearance. Types II and III, in particular, are rich in variation and appear dynamic. (m,n)=(1,0) is a Type I, which is a regular tetrahedron (V4[34]F4[34]). (m,n)=(1,1) is a Type II, which is a truncated tetrahedron (V12[312]F8[3464]). The (m,n)=(1,2) shown in the figure is a Type III, and its mirror image is (m,n)=(2,1) (both are V28[328]F16[34612]). Its shape is like a twisted truncated tetrahedron, and when inverted, it looks like a blazing flame.

*"Fourth class of convex equilateral polyhedron with polyhedral symmetry related to fullerenes and viruses", Schein and Gayed, PNAS 111(8): 2920-2925 (2014)

 United Kingdom 

細胞の中の小さな包装係：クラスリン / A Tiny Packaging Attendant in The Cell: Clathrin

-"Cryo-EM of multiple cage architectures reveals a universal mode of clathrin self-assembly" Morris KL et al, Nature Structural & Molecular Biology, 03 Oct 2019, 26(10):890-898

クラスリン複合体
Clathrin complex (triskelion)
2019年ロンドン医学研究所、イギリス
Institute of Medical Sciences, London, UK in 2019

細胞の中の小さな包装係

　真核細胞には膜輸送というユニークな物流システムがあり、タンパク質などの生体分子を小さな球状の膜（小胞）に乗せて輸送します。クラスリンは構造タンパク質で小胞をつくるときに必要となります。クラスリン複合体（triskelion）は、中心から3方向に渦巻くように伸びた形をしています（3価の頂点と辺に相当）。膜をちぎって小胞をつくるときに、クラスリン複合体が足場となり、膜を小胞体から包み込むように自己集合しながらかご状構造体を形成します。かご状構造体は主にフラーレンの様な形（頂点は3価、面は五角形と六角形）です。この論文では低温電子顕微鏡を用いて、サツマイモ、テニスボール、樽、りんご、等のあだ名がつけられたかご状構造体を観察して、大きさや形の異なるかご状構造体を上手に編み上げるクラスリンの状態を考察しています。ここでは論文の中から２つ、「テニスボール」C36:14D2dと「樽」C36:15D6hを選んでいます。これらはともにC36フラーレン構造体です。この構造体には15種類の異なる形が考えられるのですが、その中でも自然に形成されやすい形（自己集合しやすい形）がこれら2つの形になります。これらは幾何学的な観点から予想されています。

C36:14D2dとC36:15D6h

　C36フラーレン構造体には15種類の異なる形が考えられ、その２つにあたります（14番目と15番目）。頂点は３６（３価ｘ３６）、面は２０（五角形ｘ１２、六角形ｘ８）。C36:14D2dは少しいびつなボールな形で、テニスそすると変な方向に飛び跳ねそうです。180度（=360/2）回転しても形が同じに見える軸があり、その軸を立てて横から見ると、形が上下でねじれています。これは半角柱のような対称性です。C36:15D6hは角ばった樽のような形です。６０度（=360/6）回転しても形が同じに見える軸があり、その軸を立てて横から見ると、形が上下で同じです。これは角柱のような対称性です。

A Tiny Packaging Attendant in The Cell

Eukaryotic cells have a unique logistics called membrane trafficking, in which various molecules are transported via vesicle. Clathrin is a structural protein, which plays an important role in formation off vesicles. Clathrin complex (triskelion) in a shape f triple spiral radiating from the center (corresponds to a 3-deg vertex with edges) is a construction unit of cage-like structures. Self-assembly of clathrin occurs on the membrane surface as it coats the vesicle being pinched off from the membrane. Many clathrin cages resemble fullerene structures (3-deg, 5-gon and 6-gon). In this paper, some of clathrin cages termed "mini-coat", ""sweet potato", "barrel", "tennis ball", and "big apple" were characterized by cryo-electron microscopy, providing insights into how clathrin forms a variety of cages with different sizes and shapes. Picked up here are the "tennis ball" C36:14D2d and "barrel" C36:15D6h, naturally observed clathrin cages that belong to C36 fullerene structures. Although there are 15 different shapes for C36 fullerene structures, there two are the favorable shapes for self-assembly as shown by a theoretical study based on geometry.

C36:14D2dとC36:15D6h

These are the 14th and 15th isomers of C36 fullerene structures. It has 36 vertices (30-deg x 36) and 20 faces (5-deg x 12 and 6-gon x8). C36:14D2h is like a ball which may bounce irregularly in playing tennis. It has a 2-fold rotation axis, and, by standing it upright, the upper and lower parts looks twisted. It has anti-prism-like symmetry. C36:15D6h is like a hexagonally angulates barrel. It has a 6-fold rotation axis, and, by standing it upright, the upper and lower parts look the same. It has prism-like symmetry.

-"Cryo-EM of multiple cage architectures reveals a universal mode of clathrin self-assembly" Morris KL et al, Nature Structural & Molecular Biology, 03 Oct 2019, 26(10):890-898

 Germany

多面体の周期表: Face-Regular Polyhedra / The Polyhedra Periodic Table

- Gunnar Brinkmann, Michel Deza "Lists of Face-Regular Polyhedra" J Chem Inf Comput Sci . 2000 May;40(3):530-41

多面体の周期表
The Polyhedra Periodic Table
１９９９年　ドイツのビーレフェルト大学 数学部
Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld, Germany in 1999

「Face-Regular Polyhedra」

　「正多面体（プラトンの立体）/ Regular Polyhedra）」は、「全ての面が合同な正多角形で、全ての頂点における面の配置が同じ（どの頂点を選んでも、その頂点に集まる面の数、面の形、それらの面がなす角度（多面角）がすべて同じ）」という非常に厳しい条件を満たす5種類の多面体（正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体）のみを指します。一方、「Face-Regular Polyhedra」は「すべての面が正多角形である」という条件が唯一の必須条件です。この定義には正多面体の他に、「半正多面体 / Archimedean solids」、「ジョンソンの立体 / Johnson solids」、「多角柱 / Prisms」「反角柱 / Antiprisms」などが含まれます。これらの多面体は、面は正多角形でも、複数の種類の正多角形から構成されていたり、頂点の配置が均一でなかったりします。

「多面体の周期表」

　多面体の性質を統一的に理解するために、多面体の骨格が持つ「Face-Regular」（面正則性）という「多面体グラフ構造」と、多面体が空間内で持つ「面推移性」という「幾何学的対称性」を組み合わせた新しい枠組みを提案。さらに、「面の最大サイズを限定（全ての面は五角形以下など）」「頂点の次数が一定（各頂点に集まる辺数が全て同じ）」の条件下で「Face-Regular Polyhedra」の数が有限であるという結果を導き出しています。これは、無限に存在する可能性のある多面体の世界を、特定の制約のもとで体系的に分類・リスト化できることを示唆する、まるで「多面体の周期表」を作成するような試みと言えます。具体的な調査として「面のサイズが2種類（三角形と四角形のみ、五角形と六角形のみ、など）」 である多面体について構造リストを体系的に提示。新しい建築構造物の設計や、特定の対称性を持つ分子モデルの構築など、様々な分野での幾何学的な美しさまた機能性を解き明かす協力なツールとなる可能性を秘めています。

Face-Regular Polyhedra

Regular Polyhedra (Platonic Solids) refer to just five specific polyhedra: the tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, and icosahedron. These shapes satisfy extremely strict conditions: all their faces are congruent regular polygons, and the arrangement of faces at every vertex is identical (meaning that no matter which vertex you choose, the number of faces meeting at that vertex, their shapes, and the angles they form are all the same).
In contrast, Face-Regular Polyhedra have only one essential requirement: "all faces must be regular polygons." This definition includes Platonic Solids, but also encompasses Archimedean solids, Johnson solids, Prisms, and Antiprisms, among others. While their faces are regular polygons, these polyhedra may be composed of multiple types of regular polygons or have non-uniform vertex configurations.

The Periodic Table of Polyhedra

To understand the properties of polyhedra in a unified manner, a new framework is proposed that combines the "polyhedral graph structure" of a polyhedron's skeleton, which possesses "Face-Regularity," with "geometric symmetry," which is "face transitivity" that the polyhedron has in space. Furthermore, under the conditions of "limiting the maximum face size (e.g., all faces are pentagonal or smaller)" and "constant vertex degree (i.e., the same number of edges meet at every vertex)," they have derived the result that the number of "Face-Regular Polyhedra" is finite. This suggests that the potentially infinite world of polyhedra can be systematically classified and listed under specific constraints, much like an attempt to create a "Periodic Table of Polyhedra." As a specific investigation, a structural list for polyhedra with "two types of face sizes (e.g., only triangles and squares, or only pentagons and hexagons)" is systematically presented. This holds the potential to be a powerful tool for unraveling the geometric beauty and functionality in various fields, such as the design of new architectural structures and the construction of molecular models with specific symmetries.

Source: Gunnar Brinkmann, Michel Deza "Lists of Face-Regular Polyhedra" J Chem Inf Comput Sci . 2000 May;40(3):530-41

South Africa

ミツバチの建築戦略：5-7欠陥 / Honeybee Architectural Strategies: 5-7 Defects

- Hr Hepburn, La Whiffler "Construction defects define pattern and method in comb building by honeybees" Apidologie 1991 22, 381-388

ミツバチの建築戦略：5-7欠陥 / Honeybee Architectural Strategies: 5-7 Defects
HR Hepburn　LA Whiffler
1991年
Rhodes University, South Africa / ローズ大学、南アフリカ共和国

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「ハニカムのはじめ」
　ミツバチの蜜蝋でできた巣は、1ポンド（454g ）の蜜蝋を分泌するために約8.4ポンド（3.8kg ）の蜂蜜を消費するので、蜜蝋を無駄にしないようにハニカムの建築材料とスペースを節約しながら、何千匹ものミツバチが分散的に規則的な六角形の貯蔵構造を構築します。最も効率よく空間を囲める「円」は並べると隙間ができてしまいます。2013年、英国カーディフ大学の研究チームが、ミツバチの自然の六角形巣房が最初は円形であることを発見します。ミツバチは自分の周りに構築した円形筒の中で蜜蝋を練って加熱させ、直径 6mm の小さな円筒の三叉点に押し込みます。加熱された蜜蝋は約45℃で半溶融状態になり、巣の壁3面が交わる接合部の表面張力によって、円形のセルは丸みを帯びた六角形に変化します。1999年にトーマス・ヘイルズ（Thomas C. Hales）は、同じ面積で部屋を作るなら正六角形が最効率であることを証明しています。2026年には、日本の北九州大学・山口大学・関西学院大学の研究チームは、3Dプリントで設計した正方形巣房の上に巣づくりさせると、四角形の巣房は次第に減少し、五角形および六角形の巣房が増加することを発表。平面充填できる正三角形・正方形・正六角形の順に、効率よく最短周長で最大面積を確保できるようになることと一致しています。

「トポロジー欠陥」

　働き蜂たちは、働き蜂を育てるための小直径の巣房と、雄蜂を育てるための大直径の巣房との、異なる直径サイズの巣房を構築します。コロニーが繁殖可能になると、働き蜂は雄蜂用巣房構築へ切り替えますが、両方の巣房サイズを同じ平面の巣の中に構築します。働き蜂は複数の場所で同時に巣作りを開始するので、最終的に1つの巣へと融合するために、異なる巣房サイズの組み合わせと配置のズレを調整しなければなりません。また、木の空洞に巣を作るなど外部制約となる境界が存在します。スペースに無駄ができると不規則になり非六角形であるトポロジー欠陥が生じます。

　1991年、南アフリカ共和国のHR HepburnとLA Whifflerが、ケープミツバチ（Apis mellifera capensis）とアフリカミツバチ（A. m. scutellata）の平均コロニー約8,000匹 x 32 コロニーに１カ月巣作りさせ合計105個集めて調べた結果、「Bee Space　蜂スペース」（約8mm。ハチの通路・作業用空間）によって建設の最終段階で平行性が調整されること、「五角形」また「五角形と七角形のペア」を挿入することで縦方向の網目のズレが解決されることが分かります。働き蜂たちが背中合わせに近づき合う固有感覚と、働き蜂が構築できる最長直線である巣房壁幅を大まかに推定する計量能力という、蜂たちの感覚生理学の副産物として説明しています。また、五角形が密集して出現する理由として、七角形を二分すると2つの五角形になるという幾何学性質をあげています。

「ミツバチのお気に入りペア」

 　2021年、アメリカとドイツの研究チームが、セイヨウミツバチ亜種（Apis mellifera ligustica）のコロニー７つの巣づくりについて、画像解析で不規則性を抽出します（巣の写真を白黒コントラスト変換し、各部屋一番奥の暗い中心を検出、隣接する巣房の中心同士を直線で結び、最大勾配強度の巣房壁中心から引いた垂直線の交点を結んで巣房を形成し、全画像を目視で検査修正する）。5-7角形ペアおよび4-7角形ペアの出現頻度が高く、7-7角形ペア、5-5角形ペア、および4-5角形ペアの出現頻度が低いこと、4-7-7角形の3つ組や5-7-5角形および7-5-7角形ペアの直線配列の出現頻度が高く、7-7-7角形や5-5-5角形の3つ組および5-7-7角形や5-5-7角形ペアの直線配列の出現頻度が低いことを発見します。また、ミツバチは働き蜂用サイズから雄蜂用サイズの巣房構築へと移行する際に巣房の傾きを変更しないながらも、巣を融合する際には中間的な傾きを持つ六角形巣房を構築し、巣房の傾きの差が増大するにつれて非六角形の割合も同様に増大し、融合境界線において60%以上まで非六角形になって巣房の傾きを緩やかに変化させていました。

「ミツバチの建築戦略」

　2022年、米国コロラド大学を中心とする研究チームが、3Dプリンティング技術とX線顕微鏡を組み合わせ、セイヨウミツバチ（Apis mellifera）に最初から隙間や傾きやずれのある3Dプリントフレームで巣作りさせ、グラフェンの結晶成長モデル（レナード・ジョーンズポテンシャル＋模擬焼きなまし法）によってうまく再現できることを実証。0° から 30° まで傾斜角が増えるにつれて、ミツバチは隙間の中に5～7角形のセルを交互に並べた長い鎖をつくります。巣房間の距離が大きくなると、六角形を作り続けた後に5～7角形のセルを組み合わせて六角形の隙間を接続しますが、距離が巣房直系の4倍を超えると接続しません。興味深いことに、フラストレーションの原因となる垂直方向のずれによって生じる歪みは、六角形巣房の変形によって解消できるにもかかわらず、実験とシミュレーションの両方でトポロジカル欠陥（非六角形）の導入が観察されます。欠陥の存在が六角形セルの歪みを軽減するためなのか、あるいは巣房サイズの変化が異なる機能をもたらすのかは明らかにされていません。2025年には、初期の巣房サイズへの適応を調査した結果、小さな巣房（通常の0.75倍）では、限られたスペースを補うためにいくつかの巣房を結合させ、中サイズの巣房（通常の2倍）では巣房を傾けたりずらしたりして構築し、最大の巣房（通常の3倍）では巣房を層状に積み重ねて構築するように、ミツバチは巣房のサイズに応じて3つの異なる戦略「結合」「傾斜」「積層」を用いていることが明らかになります。

「5-7欠陥のネットワーク」

　2022年、カナダのトロント大学の研究チームが、CADと熱可塑性プラスチック粉末（ナイロン　PA2200）で製作した六角形ハニカムのトポロジカル欠陥（5-7欠陥）について 面外圧縮（真上）・面内圧縮（真横）・傾斜圧縮（10° 20° 30° 40° 45°）試験を実施。セル壁厚 0.5 mm、壁長さ（辺） 1.25mm 、交点接続数（頂点に集まる辺数） 3 は共通で、設計Aはアームチェア型六角形ハニカム、Design A-2 はジグザグ六角形ハニカム（Aと比較してθ=30°方位がずれている）、設計Bはハニカム中8カ所に面積率20%で分散配置されたストーン・ウェールズ欠陥（5-7-7-5ペア、グラフェンに見られる結晶欠陥）を有し、設計B-2は100%の 5-7欠陥で埋め尽くされ、設計Cは互いに30°方位がずれた2つの六角形層（ジグザグパターンと水平方向に伸張したパターン、グラフェンリボン構造）に挟まれた連続する5-7境界線を面積率45.8%で有します。結果は、設計Cのみ強度もエネルギー吸収能力も25～30%向上。つまり、5-7欠陥の割合が高くなるとハニカムはむしろ弱くなること、5-7欠陥が孤立分散せずに連続する境界を形成することで構造を幾何学的に強化していることを示しています。

（左上）-B L Karihaloo 1,✉, K Zhang 2, J Wang 3 "Honeybee combs: how the circular cells transform into rounded hexagons" J R Soc Interface. 2013 Sep 6;10(86)

（左下）-Michael L. Smith, Nils Napp, and Kirstin H. Petersen" Imperfect comb construction reveals the architectural abilities of honeybees" Proceedings of the National Academy of SciencesVol. 118, No. 31Aug 2021

（右）-Bosco Yu, D. Aranguren van Egmond, Khaled Abu Samk, U. Erb "The Design of “Grain Boundary Engineered” Architected Cellular Materials: The Role of 5-7 Defects in Hexagonal Honeycombs"  Acta Materialia 243(4)November 2022 

The Beginning of the Honeycomb
Honeybees consume about 8.4 lbs (3.8 kg) of honey to secrete just 1 lb (454 g) of beeswax. To avoid wasting it, thousands of bees cooperatively build regular hexagonal storage structures while saving materials and space. Although circles enclose space most efficiently, arranging them leaves gaps. In 2013, a Cardiff University team discovered that natural honeycomb cells are initially circular. Honeybees work inside circular cells built around themselves, kneading and heating beeswax to press it into the triple junctions of these 6-mm cylinders. Once heated to around 45°C, the beeswax enters a semi-molten state, and surface tension at the junctions where three cell walls meet transforms the circular cells into rounded hexagons. In 1999, Thomas C. Hales proved that regular hexagons are the most efficient shape for partitioning a plane into regions of equal area. In 2026, researchers from the University of Kitakyushu, Yamaguchi University, and Kansai Gakuin University reported that when bees build on 3D-printed square cell foundations, the squares gradually decrease while pentagons and hexagons increase. This aligns with the mathematical principle that among space-filling regular polygons—triangles, squares, and hexagons—hexagons provide the maximum area with the shortest perimeter.　This matches the fact that in the order of space-filling regular polygons—regular triangles, squares, and regular hexagons—they increasingly secure the maximum area with the shortest perimeter efficiently.

"Topological Defects"
Workers build different-sized cells: small-diameter for workers and large-diameter for drones. When reproductive, the colony switches to drone cells, building both sizes within the same planar comb. Since workers start building in multiple locations simultaneously, they must adjust the mixed sizes and alignment to merge into a single comb. External boundary constraints, like tree hollows, also exist. Wasted space causes irregularities, creating non-hexagonal topological defects. In 1991, H.R. Hepburn and L.A. Whiffler in South Africa analyzed 105 combs built over one month by 32 colonies (avg. 8,000 bees each) of Apis mellifera capensis and A. m. scutellata. They found that parallelism is adjusted in the final construction stage by the "Bee Space" (~8 mm; pathways/workspace), and vertical mesh misalignment is resolved by inserting pentagons or pentagon-heptagon pairs. They explain this as a byproduct of sensory physiology: workers' proprioception when approaching back-to-back, and their metric ability to roughly estimate cell wall width, the longest straight line a worker can build. Additionally, they cite a geometric property as the reason for the dense appearance of pentagons: bisecting a heptagon yields two pentagons.

"Honeybees' Favorite Pairs"
In 2021, a US-German team extracted comb irregularities in seven Apis mellifera ligustica colonies using image analysis. (They converted comb photos to high-contrast black-and-white, detected the deepest dark center of each cell, connected adjacent centers with straight lines, formed cells by connecting intersections of perpendicular lines drawn from maximum-gradient wall centers, and visually inspected and corrected all images). They discovered that 5-7 and 4-7 pairs were frequent, while 7-7, 5-5, and 4-5 pairs were rare; and 4-7-7 triplets and 5-7-5 and 7-5-7 linear arrays were frequent, while 7-7-7 and 5-5-5 triplets and 5-7-7 and 5-5-7 linear arrays were rare. Additionally, while bees do not change cell tilt when transitioning from worker to drone sizes, they build intermediate-tilt hexagonal cells when merging combs. As tilt differences increased, the non-hexagonal proportion similarly rose, exceeding 60% at the merge boundary to smoothly transition the tilt.

"Honeybee Architectural Strategies"
In 2022, a University of Colorado-led team combined 3D printing and X-ray microscopy, letting Apis mellifera build on imperfect starter frames with gaps, tilts, and shifts. They demonstrated this could be replicated using a graphene crystal growth model (Lennard-Jones potential + simulated annealing). As the tilt angle increased from 0° to 30°, bees built long alternating chains of 5-7 cells within the gaps. For larger distances, they connected hexagonal gaps by mixing 5-7 cells after continuous hexagons, but ceased connection when the distance exceeded 4x the cell diameter. Interestingly, despite vertical mismatches—which cause strain that could be resolved by deforming hexagons—topological defects (non-hexagons) were observed in both experiments and simulations. Whether defects exist to relieve hexagonal cell strain or if changing cell sizes offer distinct functions remains unclear. In 2025, a study on adapting to initial cell sizes revealed that bees deploy three size-dependent strategies: "merging" small cells (0.75x normal) to compensate for limited space, "tilting" or shifting medium cells (2x normal), and "layering" the largest cells (3x normal).

"Network of 5-7 Defects"
In 2022, a University of Toronto team tested topological (5-7) defects in CAD-designed, nylon (PA2200) powder-fabricated hexagonal honeycombs under out-of-plane, in-plane, and inclined (10°, 20°, 30°, 40°, 45°) compression. All designs shared a wall thickness of 0.5 mm, wall length of 1.25 mm, and nodal connectivity of 3. Design A was an armchair hexagonal honeycomb; Design A-2 was a zigzag honeycomb (rotated θ=30° relative to A). Design B possessed Stone-Wales defects (5-7-7-5 pairs found in graphene) dispersed across 8 locations at a 20% area fraction. Design B-2 was 100% filled with 5-7 defects. Design C featured a continuous 5-7 boundary line with a 45.8% area fraction, sandwiched between two hexagonal layers misoriented by 30° (zigzag and horizontally stretched graphene ribbon configurations). Only Design C showed a 25–30% increase in both strength and energy absorption. This reveals that a higher fraction of 5-7 defects weakens the honeycomb, whereas continuous boundaries—rather than isolated dispersions—geometrically strengthen the structure. 

-T. C. Hales "The Honeycomb Conjecture" Volume 25, pages 1–22 (2001)
-B L Karihaloo 1,✉, K Zhang 2, J Wang 3 "Honeybee combs: how the circular cells transform into rounded hexagons" J R Soc Interface. 2013 Sep 6;10(86)
-Takayuki Narumi, Ryo Ogawa & Koichi Osaki "Honeycomb construction on designed foundations reveals geometry-dependent developmental pathways" Scientific Reports volume 16, Article number: 25446 (2026)
- Hr Hepburn, La Whiffler "Construction defects define pattern and method in comb building by honeybees" Apidologie 1991 22, 381-388
-Michael L. Smith, Nils Napp, and Kirstin H. Petersen" Imperfect comb construction reveals the architectural abilities of honeybees" Proceedings of the National Academy of SciencesVol. 118, No. 31Aug 2021
-Golnar Gharooni Fard, Daisy Zhang, Francisco López Jiménez, View ORCID ProfileOrit Peleg "Honeycomb crystallography: comb formation under geometric frustrations" PNAS Vol. 119, No. 48, 2022
-Golnar Gharooni-Fard, Chethan Kavaraganahalli Prasanna, ORCID ProfileOrit Peleg, Francisco López Jiménez ”Honeybees adapt to a range of comb cell sizes by merging, tilting, and layering their construction" PLoS Biol. 2025 Aug 26;23(8):e3003253.
-Vincent Gallo, Alice D. Bridges, Joseph L. Woodgate & Lars Chittka "Honeybee comb geometry emerges from local redistribution of angular space by worker construction activity"  npj Entomology volume 1, Article number: 5 (2026)
-Bosco Yu, D. Aranguren van Egmond, Khaled Abu Samk, U. Erb "The Design of “Grain Boundary Engineered” Architected Cellular Materials: The Role of 5-7 Defects in Hexagonal Honeycombs"  Acta Materialia 243(4)November 2022

Egypt

ギザの大ピラミッドと黄金比　The Great Pyramid and Golden Ratio

-Ministry of Tourism and Antiquities