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四価ゴールドバーグの立体　Tetravalent Goldberg Polyhedra

四価ゴールドバーグの立体
Tetravalent Goldberg Polyhedra
2016年京都大学にて発見
Discovered at Kyoto Univ. in 2016

自己集合の美
　限られた種類の小さな分子が自然に集まって、秩序だった構造を作り上げる現象には驚かされます。この報告では、化学的な手法で、幾何学的構造の分子複合体を作り上げることに成功しています。構成単位は金属イオン（Ｍ：４価の頂点に相当）と有機リガンド（Ｌ：辺に相当）。溶媒中で自己集合して、90成分からなる複合体Ｍ30Ｌ60が形成されました。その構造は、分子形状としてはとても珍しい4価ゴールドバーグの立体であることが分り、しかも鏡像体のある形でした（tet-G(2,1)、Ⅲ型）。著者らは、幾何学的な法則性からさらに大きな複合体を予測し、期待通り144成分からなる複合体M48L96を得ています（tet-G(2,2)、II型）。自己集合で作られる形は、熱力学的に安定です。対称性の高い幾何学的構造はおそらく安定であり、巨大な分子複合体を作りだす上で重要な手がかりになりそうです。

四価ゴールドバーグの立体*

　正八面体のゴールドバーグ・コクセターコンストラクション＊による立体。四価で三角形と四角形からなる八面体対称の立体です。三角形は常に8つです。三角形の位置はちょうど立方体の頂点部分にあたり、その間を四角形で均等に埋めた形です。一つの三角形をスタートして、隣り合う面づたいにｍ面直進し、90度向きを変えてn面直進すると、最寄りの三角形にたどり着きます。このとき、Ｉ型はmまたは n=0、II型はm=ｎ、III型はm≠nです。III型のみ鏡像体があり、ねじれた外観です（右巻きと左巻き）。馴染み深い三角形と四角形でできる形ですが、四価ゴールドバーグの立体は普段目にすることはありません。対称性の高い美しい立体で、特にII型とIII型が面白いです。
* これらの語句は説明のために用いていますが、厳密には正確ではないかもしれません。下記の文献が参考になります。
-Brinkmann et al., Proceedings Royal Society A 473: 20170267 (2017)

Self-Assembled Beauty

Natural wonders may extend to a molecular phenomenon in which limited types of small components assemble into a highly ordered structure. In chemistry, geometric supramolecular structures were obtained by self-assembly of metal ions (M: as tetravalent vertices) and organic ligands (L: as bent edges at a certain angle). X-ray crystallography revealed that the complex Ｍ30Ｌ60 made of 90 components has a structure resembling a tetravalent Goldberg polyhedron tet-G(2,1) typeIII, an unprecedented structure in the molecular world. The authors predicted even larger complexes, and successfully obtained Ｍ48Ｌ96 made of 144 components (tet-G(2,2), type II). Self-assembled structures are thermodynamically stable. Geometric principles may underlie formation of supramolecular structures.

Tetravalent Goldberg Polyhedra*

Polyhedra obtained by the Goldberg-Coxeter construction* on an octahedron. Simply, these are created by adding tetragons to the octahedron, 4-reguraly and symmetrically (octahedral). Triangles are 8 in total. Triangles are located at vertices of a cubic cell, and tetragons fill the gaps evenly. Starting from one triangle, move m-faces over tetragons in one direction, turn 90 degrees, and move n-faces to reach the closest triangle. A pair of numbers (m,n) is useful to classify the structures: m, n=0 (type I), m=n (type II), and m≠n (type III). Only type III is chiral, and looks twisted. Although triangles and tetragons are both familiar, tetravalent Goldberg polyhedra look unusual yet so beautiful. Type II and III are particularly interesting. 
* Please be advised that the terms “tetravalent Goldberg polyhedra” and “Goldberg-Coxeter construction” are used for convenience, but might not be accurate. See, Brinkmann et al., Proceedings Royal Society A 473: 20170267 (2017)

-“Self-assembly of tetravalent Goldberg polyhedra from 144 small components” Fujita et al., Nature 540: 563-566 (2016)
-"Comparing the constructions of Goldberg, Fuller, Caspar, Klug and Coxeter, and a general approach to local symmetry-preserving operations" Brinkmann et al., Proceedings Royal Society A 473: 20170267 (2017)

-日本科学技術振興機構（2016年12月22日）“分子の自己集合現象の解明に迫る物質群の存在を発見”

- Japan Science and Technology Agency, 22.12.2016. “Self-assembly of tetravalent Goldberg polyhedra from 144 small components”
-京都大学物質細胞統合システム拠点（iCeMS）

USA

螺旋多面体 / Spirallohedra

螺旋多面体
Spirallohedra
2000
独学研究者　ラッセル・タウル
Independent Scholar　Russell Towle
米国カリフォルニア州シエラネバダ山奥の六角形の家
Hexagonal house in a remote part of the Sierra Nevada mountains of California
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　数学の新しいツール「Mathematica」（計算科学処理ソフトウェア）を駆使して幾何学の世界を探求していた独学者ラッセル・タウルは、優雅で美しい螺旋状の翼を持つ多面体を発見します。

　彼が研究していた極性ゾーン多面体（Polar Zonohedra）は、2つの尖った極があるアメリカンフットボールを引き延ばしたり押しつぶしたり膨らませたりしたようなカタチで、高次元の多面体である超立方体（Hypercube）が３次元投影として現れた特別なゾーン多面体（Zonohedra）です。構成する無数の菱面体（菱形六面体）から特定のセルを慎重に取り除くことで、螺旋多面体（Spirallohedron）にたどりつきます。k個（kは2より大きい整数）の螺旋表面に囲まれ、k次（360°/kの回転対称性）の対称軸を持ち、キラルな（鏡像と重ね合わせることができない）非凸多面体です。

　「ひし形で敷き詰められた正2n角形の周縁部から2つまたは3つのひし形領域をかじる（bites）と、ひし形で敷き詰められた非凸多角形「かじられたゾノゴン（bitten zonogons）」はどちらも平面を充填する」。このアイディアを３次元に拡張して、「かじられたゾーン多面体（bitten Zonohedra）」である3翼および4翼の螺旋多面体（Spirallohedron）が空間充填することを見つけます*。そこでさらに、対称軸に垂直な断面から得た正k角形のうち「辺同士がぴったり重ならない」タイリング*を発見したことから、より高次元の４次元で空間充填すると「面同士がぴったり重ならない」３次元空間充填が得られることを示唆しています。

Using a new mathematical tool, the computational software Mathematica, independent scholar Russell Towle explored the world of geometry and discovered a class of elegant and beautiful polyhedra with spiral-shaped wings.

The objects he was studying were Polar Zonohedra, which are special kinds of zonohedra that appear as the three-dimensional projection of a higher-dimensional polyhedron, Hypercube. Their shape resembles an American football that has been stretched, squashed, or inflated. By carefully removing specific cells from the countless rhombic faces (rhombohedra) that make them up, he arrived at the Spirallohedron. This is a new geometric structure: a chiral (non-superimposable on its mirror image), non-convex polyhedron surrounded by k spiral surfaces (where k is an integer greater than 2) and possessing a k-fold (360°/k rotational) symmetry axis.

He discovered that "when you 'bite' two or three rhombic regions from the periphery of a regular 2n-gon tiled with rhombi, the resulting non-convex polygons—which he called bitten zonogons—can both tile a plane." He extended this idea into three dimensions to find that the 3-winged and 4-winged spirallohedra, which are bitten zonohedra, can fill space. From this, he further deduced that the regular k-gons obtained from a cross-section perpendicular to the symmetry axis form a tiling where the edges do not perfectly meet. This suggests that a higher-dimensional space-filling in four dimensions would result in a three-dimensional space-filling where the faces do not perfectly meet.

-Russell Towle "Rhombic spirallohedra" Volume 11, Numbers 1-4, pages 293-306 (2000)

-Towle R. (2002) "Stellation and Zonotopal Tilings, Symmetry" Culture and Science, 13, 1-2, 121-128.

-Michel Petitjean. Spirallohedra and Space Filling. A Tribute to Russell Towle.. Symmetry: Culture and Science, 2008, 19 (1), pp.5-8. ffhal-01941511f

-Stephen Wolfram (2008), "Russell Towle: 1949–2008," Stephen Wolfram Writings. writings.stephenwolfram.com/2008/10/russell-towle-1949-2008. 

 四面体対称性のゴールドバーグの立体 / Tetrahedrally Symmetric Goldberg Polyhedra

四面体対称性のゴールドバーグの立体
Tetrahedrally Symmetric Goldberg Polyhedra
2014
米国カリフォルニア大学
Department of Psychology, University of California, Los Angeles, CA 90095

火焔型土器

　ゴールドバーグの立体は、対称性の高い美しい立体です。頂点は3価で(頂点から3本の辺が出る)、面は三角形と六角形(四面体対称の場合)、または四角形と六角形(八面体対称の場合)、または五角形と六角形(二十面体対称の場合)です。簡単にイメージすると、正四面体(三角形×4)、正六面体(四角形x6)、正十二面体(五角形×12)から出発して、各面を互いに引き離して隙間を作り、そこに六角形を3価で対称的に加えて作ることができます。六角形の数はどんどん増やせますので、ゴールドバーグの立体は無限に続きま ・アルキメデスの立体も幾つか含まれていて(切頂四面体、切頂八面体、切頂二十面体)、これらは面が平坦で窪みのない立体(凸多面体)です。しかし、ほとんどの場合、正多角形でゴールドバーグの立体を作ると面が曲がってしまうのです(凸多面体ではない)。これでは、プラトンの立体、アルキメデスの立体、ケプラーの菱形多面体のような、辺の長さが同じで対称性が高い凸多面体の仲間に入れてもらえません。そこでこの論文は、辺の長さは同じに保ったまま、 六角形の内角だけを調節することで、凸多面体が得られることを示しました。つまり、辺の長さが同じで対称性が高い新しいクラスの凸多面体がここに誕生しました。下の図は、論文に記載された六角形の内角を調節していない立体の例で、 正三形と正六角形で作ることができる面が大きく曲がった四面体対称のゴールドバーグの立体です。

*Goldberg (1937), Tohoku Math 43: 104-108
*Cusper and Klug (1962), Cold Spring Harb Symp Quant Biol 27: 1-24

四面体対称のゴールドバーグの立体

　3価で三角形と六角形からなる四面体対称の立体です。正四面体から始まり、 無限にあります。三角形は常に4つで、六角形の数が異なります。三角形の位置はちょうど正四面体の頂点部分にあたり、その間を六角形で均等に埋めた形です。大雑把に見ると正四面体のようです。一つの三角形をスタートして、『 面づたいにm面直進し、60度向きを変えてn面直進すると、最寄りの三角形にたどり着きます。このとき、I型はmまたはn=0、II型はm=n、III型は m≠ nです。III型のみ鏡像体があり、ねじれた外観です。特にII型と III 型は変化に富んでいて、ダイナミックに見えます。(m,n)=(1,0)はI型で正四面体です (V4[34]F4[34])。(m,n)=(1,1)はII型で切頂四面体です (V12[312]F8[3464])。図に示した (m,n)=(1,2)は III 型で、鏡像体は(m,n)=(2,1)です(ともにV28[328]F16[34612])。切頂四面体をひねったような形で、ひっくり返すと燃え上がる炎のように見えます。

*"Fourth class of convex equilateral polyhedron with polyhedral symmetry related to fullerenes and viruses", Schein and Gayed, PNAS 111(8): 2920-2925 (2014)

"Flame-shaped Doki (Pottery)"

Goldberg polyhedra are beautiful solids with high symmetry. Their vertices are trivalent (three edges extend from each vertex), and their faces are triangles and hexagons (in the case of tetrahedral symmetry), or squares and hexagons (in the case of octahedral symmetry), or pentagons and hexagons (in the case of icosahedral symmetry). To easily visualize them, you can start from a regular tetrahedron (4 triangles), a regular hexahedron (6 squares), or a regular dodecahedron (12 pentagons), then pull each face apart to create gaps, and symmetrically add trivalent hexagons into these spaces. Since the number of hexagons can be increased indefinitely, Goldberg polyhedra continue infinitely. Some Archimedean solids are also included (truncated tetrahedron, truncated octahedron, truncated icosahedron), and these are convex polyhedra with flat faces and no indentations. However, in most cases, when Goldberg polyhedra are made from regular polygons, their faces become curved (they are not convex polyhedra). In this state, they cannot be included among Platonic solids, Archimedean solids, or Kepler's rhombic polyhedra, which are convex polyhedra with equal edge lengths and high symmetry. Therefore, this paper demonstrated that convex polyhedra can be obtained by adjusting only the internal angles of the hexagons while keeping the edge lengths the same. In other words, a new class of convex polyhedra with equal edge lengths and high symmetry was born here. The figure below shows an example of a polyhedron described in the paper where the internal angles of the hexagons have not been adjusted; it is a tetrahedral Goldberg polyhedron made of regular triangles and regular hexagons, with significantly curved faces.

Tetrahedrally Symmetric Goldberg Polyhedra

These are tetrahedrally symmetric solids composed of trivalent triangles and hexagons. They start from a regular tetrahedron and exist infinitely. There are always 4 triangles, and the number of hexagons differs. The positions of the triangles correspond exactly to the vertices of a regular tetrahedron, with hexagons evenly filling the spaces between them. Roughly speaking, they resemble a regular tetrahedron. Starting from one triangle, if you move m faces straight along the surface and then turn 60 degrees and move n faces straight, you will reach the nearest triangle. In this case, Type I is when m or n=0, Type II is when m=n, and Type III is when m=n. Only Type III has a mirror image and a twisted appearance. Types II and III, in particular, are rich in variation and appear dynamic. (m,n)=(1,0) is a Type I, which is a regular tetrahedron (V4[34]F4[34]). (m,n)=(1,1) is a Type II, which is a truncated tetrahedron (V12[312]F8[3464]). The (m,n)=(1,2) shown in the figure is a Type III, and its mirror image is (m,n)=(2,1) (both are V28[328]F16[34612]). Its shape is like a twisted truncated tetrahedron, and when inverted, it looks like a blazing flame.

 United Kingdom 

クラスリン複合体　Clathrin complex (triskelion) 

クラスリン複合体
Clathrin complex (triskelion)
2019年ロンドン医学研究所、イギリス
Institute of Medical Sciences, London, UK in 2019

細胞の中の小さな包装係

　真核細胞には膜輸送というユニークな物流システムがあり、タンパク質などの生体分子を小さな球状の膜（小胞）に乗せて輸送します。クラスリンは構造タンパク質で小胞をつくるときに必要となります。クラスリン複合体（triskelion）は、中心から3方向に渦巻くように伸びた形をしています（3価の頂点と辺に相当）。膜をちぎって小胞をつくるときに、クラスリン複合体が足場となり、膜を小胞体から包み込むように自己集合しながらかご状構造体を形成します。かご状構造体は主にフラーレンの様な形（頂点は3価、面は五角形と六角形）です。この論文では低温電子顕微鏡を用いて、サツマイモ、テニスボール、樽、りんご、等のあだ名がつけられたかご状構造体を観察して、大きさや形の異なるかご状構造体を上手に編み上げるクラスリンの状態を考察しています。ここでは論文の中から２つ、「テニスボール」C36:14D2dと「樽」C36:15D6hを選んでいます。これらはともにC36フラーレン構造体です。この構造体には15種類の異なる形が考えられるのですが、その中でも自然に形成されやすい形（自己集合しやすい形）がこれら2つの形になります。これらは幾何学的な観点から予想されています。

C36:14D2dとC36:15D6h

　C36フラーレン構造体には15種類の異なる形が考えられ、その２つにあたります（14番目と15番目）。頂点は３６（３価ｘ３６）、面は２０（五角形ｘ１２、六角形ｘ８）。C36:14D2dは少しいびつなボールな形で、テニスそすると変な方向に飛び跳ねそうです。180度（=360/2）回転しても形が同じに見える軸があり、その軸を立てて横から見ると、形が上下でねじれています。これは半角柱のような対称性です。C36:15D6hは角ばった樽のような形です。６０度（=360/6）回転しても形が同じに見える軸があり、その軸を立てて横から見ると、形が上下で同じです。これは角柱のような対称性です。

A Tiny Packaging Attendant in The Cell

Eukaryotic cells have a unique logistics called membrane trafficking, in which various molecules are transported via vesicle. Clathrin is a structural protein, which plays an important role in formation off vesicles. Clathrin complex (triskelion) in a shape f triple spiral radiating from the center (corresponds to a 3-deg vertex with edges) is a construction unit of cage-like structures. Self-assembly of clathrin occurs on the membrane surface as it coats the vesicle being pinched off from the membrane. Many clathrin cages resemble fullerene structures (3-deg, 5-gon and 6-gon). In this paper, some of clathrin cages termed "mini-coat", ""sweet potato", "barrel", "tennis ball", and "big apple" were characterized by cryo-electron microscopy, providing insights into how clathrin forms a variety of cages with different sizes and shapes. Picked up here are the "tennis ball" C36:14D2d and "barrel" C36:15D6h, naturally observed clathrin cages that belong to C36 fullerene structures. Although there are 15 different shapes for C36 fullerene structures, there two are the favorable shapes for self-assembly as shown by a theoretical study based on geometry.

C36:14D2dとC36:15D6h

These are the 14th and 15th isomers of C36 fullerene structures. It has 36 vertices (30-deg x 36) and 20 faces (5-deg x 12 and 6-gon x8). C36:14D2h is like a ball which may bounce irregularly in playing tennis. It has a 2-fold rotation axis, and, by standing it upright, the upper and lower parts looks twisted. It has anti-prism-like symmetry. C36:15D6h is like a hexagonally angulates barrel. It has a 6-fold rotation axis, and, by standing it upright, the upper and lower parts look the same. It has prism-like symmetry.

-"Cryo-EM of multiple cage architectures reveals a universal mode of clathrin self-assembly" Morris KL et al, Nature Structural & Molecular Biology, 03 Oct 2019, 26(10):890-898

 Germany

多面体の周期表　The Polyhedra Periodic Table

多面体の周期表
The Polyhedra Periodic Table
１９９９年　ドイツのビーレフェルト大学 数学部
Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld, Germany in 1999

「Face-Regular Polyhedra」

　「正多面体（プラトンの立体）/ Regular Polyhedra）」は、「全ての面が合同な正多角形で、全ての頂点における面の配置が同じ（どの頂点を選んでも、その頂点に集まる面の数、面の形、それらの面がなす角度（多面角）がすべて同じ）」という非常に厳しい条件を満たす5種類の多面体（正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体）のみを指します。一方、「Face-Regular Polyhedra」は「すべての面が正多角形である」という条件が唯一の必須条件です。この定義には正多面体の他に、「半正多面体 / Archimedean solids」、「ジョンソンの立体 / Johnson solids」、「多角柱 / Prisms」「反角柱 / Antiprisms」などが含まれます。これらの多面体は、面は正多角形でも、複数の種類の正多角形から構成されていたり、頂点の配置が均一でなかったりします。

「多面体の周期表」

　多面体の性質を統一的に理解するために、多面体の骨格が持つ「Face-Regular」（面正則性）という「多面体グラフ構造」と、多面体が空間内で持つ「面推移性」という「幾何学的対称性」を組み合わせた新しい枠組みを提案。さらに、「面の最大サイズを限定（全ての面は五角形以下など）」「頂点の次数が一定（各頂点に集まる辺数が全て同じ）」の条件下で「Face-Regular Polyhedra」の数が有限であるという結果を導き出しています。これは、無限に存在する可能性のある多面体の世界を、特定の制約のもとで体系的に分類・リスト化できることを示唆する、まるで「多面体の周期表」を作成するような試みと言えます。具体的な調査として「面のサイズが2種類（三角形と四角形のみ、五角形と六角形のみ、など）」 である多面体について構造リストを体系的に提示。新しい建築構造物の設計や、特定の対称性を持つ分子モデルの構築など、様々な分野での幾何学的な美しさまた機能性を解き明かす協力なツールとなる可能性を秘めています。

Face-Regular Polyhedra

Regular Polyhedra (Platonic Solids) refer to just five specific polyhedra: the tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, and icosahedron. These shapes satisfy extremely strict conditions: all their faces are congruent regular polygons, and the arrangement of faces at every vertex is identical (meaning that no matter which vertex you choose, the number of faces meeting at that vertex, their shapes, and the angles they form are all the same).
In contrast, Face-Regular Polyhedra have only one essential requirement: "all faces must be regular polygons." This definition includes Platonic Solids, but also encompasses Archimedean solids, Johnson solids, Prisms, and Antiprisms, among others. While their faces are regular polygons, these polyhedra may be composed of multiple types of regular polygons or have non-uniform vertex configurations.

The Periodic Table of Polyhedra

To understand the properties of polyhedra in a unified manner, a new framework is proposed that combines the "polyhedral graph structure" of a polyhedron's skeleton, which possesses "Face-Regularity," with "geometric symmetry," which is "face transitivity" that the polyhedron has in space. Furthermore, under the conditions of "limiting the maximum face size (e.g., all faces are pentagonal or smaller)" and "constant vertex degree (i.e., the same number of edges meet at every vertex)," they have derived the result that the number of "Face-Regular Polyhedra" is finite. This suggests that the potentially infinite world of polyhedra can be systematically classified and listed under specific constraints, much like an attempt to create a "Periodic Table of Polyhedra." As a specific investigation, a structural list for polyhedra with "two types of face sizes (e.g., only triangles and squares, or only pentagons and hexagons)" is systematically presented. This holds the potential to be a powerful tool for unraveling the geometric beauty and functionality in various fields, such as the design of new architectural structures and the construction of molecular models with specific symmetries.

Source: Gunnar Brinkmann, Michel Deza "Lists of Face-Regular Polyhedra" J Chem Inf Comput Sci . 2000 May;40(3):530-41

Egypt

ギザの大ピラミッド　The Great Pyramid of Giza