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自己集合の美：四価ゴールドバーグの立体 / Self-Assembled Beauty: Tetravalent Goldberg Polyhedra

四価ゴールドバーグの立体
Tetravalent Goldberg Polyhedra
2016年京都大学にて発見
Discovered at Kyoto Univ. in 2016

自己集合の美
　限られた種類の小さな分子が自然に集まって、秩序だった構造を作り上げる現象には驚かされます。この報告では、化学的な手法で、幾何学的構造の分子複合体を作り上げることに成功しています。構成単位は金属イオン（Ｍ：４価の頂点に相当）と有機リガンド（Ｌ：辺に相当）。溶媒中で自己集合して、90成分からなる複合体Ｍ30Ｌ60が形成されました。その構造は、分子形状としてはとても珍しい4価ゴールドバーグの立体であることが分り、しかも鏡像体のある形でした（tet-G(2,1)、Ⅲ型）。著者らは、幾何学的な法則性からさらに大きな複合体を予測し、期待通り144成分からなる複合体M48L96を得ています（tet-G(2,2)、II型）。自己集合で作られる形は、熱力学的に安定です。対称性の高い幾何学的構造はおそらく安定であり、巨大な分子複合体を作りだす上で重要な手がかりになりそうです。

四価ゴールドバーグの立体*

　正八面体のゴールドバーグ・コクセターコンストラクション＊による立体。四価で三角形と四角形からなる八面体対称の立体です。三角形は常に8つです。三角形の位置はちょうど立方体の頂点部分にあたり、その間を四角形で均等に埋めた形です。一つの三角形をスタートして、隣り合う面づたいにｍ面直進し、90度向きを変えてn面直進すると、最寄りの三角形にたどり着きます。このとき、Ｉ型はmまたは n=0、II型はm=ｎ、III型はm≠nです。III型のみ鏡像体があり、ねじれた外観です（右巻きと左巻き）。馴染み深い三角形と四角形でできる形ですが、四価ゴールドバーグの立体は普段目にすることはありません。対称性の高い美しい立体で、特にII型とIII型が面白いです。
* これらの語句は説明のために用いていますが、厳密には正確ではないかもしれません。下記の文献が参考になります。
-Brinkmann et al., Proceedings Royal Society A 473: 20170267 (2017)

Self-Assembled Beauty

Natural wonders may extend to a molecular phenomenon in which limited types of small components assemble into a highly ordered structure. In chemistry, geometric supramolecular structures were obtained by self-assembly of metal ions (M: as tetravalent vertices) and organic ligands (L: as bent edges at a certain angle). X-ray crystallography revealed that the complex Ｍ30Ｌ60 made of 90 components has a structure resembling a tetravalent Goldberg polyhedron tet-G(2,1) typeIII, an unprecedented structure in the molecular world. The authors predicted even larger complexes, and successfully obtained Ｍ48Ｌ96 made of 144 components (tet-G(2,2), type II). Self-assembled structures are thermodynamically stable. Geometric principles may underlie formation of supramolecular structures.

Tetravalent Goldberg Polyhedra*

Polyhedra obtained by the Goldberg-Coxeter construction* on an octahedron. Simply, these are created by adding tetragons to the octahedron, 4-reguraly and symmetrically (octahedral). Triangles are 8 in total. Triangles are located at vertices of a cubic cell, and tetragons fill the gaps evenly. Starting from one triangle, move m-faces over tetragons in one direction, turn 90 degrees, and move n-faces to reach the closest triangle. A pair of numbers (m,n) is useful to classify the structures: m, n=0 (type I), m=n (type II), and m≠n (type III). Only type III is chiral, and looks twisted. Although triangles and tetragons are both familiar, tetravalent Goldberg polyhedra look unusual yet so beautiful. Type II and III are particularly interesting. 
* Please be advised that the terms “tetravalent Goldberg polyhedra” and “Goldberg-Coxeter construction” are used for convenience, but might not be accurate. See, Brinkmann et al., Proceedings Royal Society A 473: 20170267 (2017)

-“Self-assembly of tetravalent Goldberg polyhedra from 144 small components” Fujita et al., Nature 540: 563-566 (2016)
-"Comparing the constructions of Goldberg, Fuller, Caspar, Klug and Coxeter, and a general approach to local symmetry-preserving operations" Brinkmann et al., Proceedings Royal Society A 473: 20170267 (2017)

-日本科学技術振興機構（2016年12月22日）“分子の自己集合現象の解明に迫る物質群の存在を発見”

- Japan Science and Technology Agency, 22.12.2016. “Self-assembly of tetravalent Goldberg polyhedra from 144 small components”
-京都大学物質細胞統合システム拠点（iCeMS）

天然ガスのタイムカプセル　千葉石 / Natural Gas Time Capsule, Chibaite

Figure 1: Framework structures of three types of clathrasils.

From: Momma K. et al. "New silica clathrate minerals that are isostructural with natural gas hydrates" Nature Communications (2011) 

天然ガスのタイムカプセル　千葉石

「シリカクラスレート」
　クラスレート（包摂化合物　clathrate）は、結晶構造の骨格を形成する分子（ホスト）の中に、別の分子（ゲスト）が取り込まれている化合物です。世界中の海底や永久凍土に存在する、「燃える氷」こと「メタンハイドレート（methane hydrate）」は、水分子（H₂O）骨格中にメタン分子（CH₄）を包有します。より大きいガス分子を包有するものもあり「天然ガスハイドレート（Natural Gas hydrate）」と総称されます。2011年に千葉県の房総半島南部から新発見された大変希少な「千葉石（Chibaite）」はケイ素（Si）と酸素 （O）の大小２種類カゴの内側にメタン・エタン・プロパン・イソブタンなどの天然ガス分子を一つずつ含みます。同じ場所で発見された、房総石（Bosoite）、メラノフロジャイト（Melanophlogite）とまとめて「シリカクラスレート（silica clathrate, clathrasil）」と呼ばれます。
　「燃える氷」メタンハイドレート（methane hydrate）は海底近傍の低温環境下で、地層中から漏れ出た主に微生物起源ガスが冷たい海水に触れることで、水分子がメタン分子をカゴ状に取り囲んで海底に固体として溜まりますが、海水温の上昇や地殻変動に伴って最終的に大気中に放散します。一方、クラスレートは地層深く100℃前後の高温条件下で、火山由来シリカと主に熱分解起源ガスを溶かし込んだ地下水が断層に沿って上昇し、温度が50~80℃以下に下がったところで析出生成された後に、自然界ではほとんどがガス溶脱した「石英　Quarts」となって見過ごされていました。というのは、乾燥環境中で1,000℃前後まで加熱しても分解しないものの、熱水溶液中では長い地質年代にわたって徐々に水に再溶解して元の外形を保ったまま溶解度の低い石英として再結晶化するからです（「仮晶　pseudocrystal」）。

「カゴ状構造」
　「天然ガスハイドレート（Natural Gas hydrate）」と同型構造を持つ「シリカクラスレート（silica clathrate, clathrasil）」は、メタンガスを含むメラノフロジャイトのⅠ型（5角12面体と5角12・6角2の14面体）、より大きな炭化水素ガスを含む千葉石のⅡ型（5角12面体と5角12・6角4の16面体）、大型のカゴを有する房総石のH型（5角12面体と4角3・5角6・6角3の12面体と5角12・6角8の20面体）の3種類の結晶構造が確認されています。カゴの直径は1nm（10⁻⁹ m = 1/100万 mm）程度で、どの種類の結晶構造ができるかは存在するガス分子のサイズと濃度に影響されるので、メラノフロジャイト、千葉石、房総石の順番に結晶化していき、房総石が成長するにつれて共生するように千葉石も成長します。メラノフロジャイトは最も不安定で最も豊富に存在し、房総石の結晶体積は他の2つと比べて非常に小さくなります。
　SiO₂を主成分としてSiの一部をAlが置き換えた組成の「沸石　Zeolite」は、SiO₄とAlO₄の四面体が酸素原子を共有しながら互いに連結して、カゴ状やパイプ状など空隙のある骨格構造を持ち、内側に含まれる水分子の他にアルカリ金属やアルカリ土類金属のイオンが溶液中で出入りします。例えばナトリウムを含む沸石は、溶液中の放射性セシウム、カルシウム、マグネシウムなどを吸着除去する代わりにナトリウムを溶出させます。一方、フラーレン構造（五角形と六角形から成る凸多面体構造）を基本とするシリカクラスレートのケージ中ガス占有率は１００％に近く、カゴの出入り口が小さいためにガス分子が出入りしずらく、触媒や吸着といった機能性を持ちません。しかも骨格構造は電荷的に中性なので安定し、乾燥環境中で1,000℃前後まで加熱しても分解せず、熱水中で長い長い時間をかけて結晶が分解するまで、かつて地層中に存在したガス分子を閉じ込めたまま保持します。クラスレートはガスハイドレート堆積物の地下における炭素循環を理解する新たな手段として注目されています。

Natural Gas Time Capsule, Chibaite

Silica Clathrates
A clathrate is an inclusion compound where a host lattice encapsulates guest molecules. A prime example is methane hydrate ("fiery ice") found in deep-sea sediments and permafrost, where water (H₂O) frameworks enclose methane (CH₄). Compounds trapping larger molecules are collectively termed natural gas hydrates. In 2011, the extremely rare mineral chibaite was discovered in the southern Boso Peninsula, Chiba, Japan. Its silicon-oxygen (SiO₂) framework forms two types of cages, each trapping a single natural gas molecule (methane, ethane, propane, or isobutane). Chibaite, along with bosoite and melanophlogite discovered at the same site, are classified as silica clathrates (clathrasils).
Methane hydrates form in cold seafloor environments when microbial gases meet seawater, accumulating as solids. However, they eventually dissociate into the atmosphere due to rising ocean temperatures or tectonic activity. Conversely, silica clathrates precipitate deep underground along faults at 50–80°C from groundwater rich in volcanic silica and thermogenic gases (initially dissolved at ~100°C). In nature, most silica clathrates have been overlooked because they typically lose their guest gases and transform into quartz. While stable up to 1,000°C in dry conditions, they slowly dissolve in hydrothermal solutions over geological timescales and recrystallize into less soluble quartz. This process preserves their original crystal morphology, forming a pseudomorph.

Cage-like Structures
Silica clathrates (clathrasils) are isostructural with natural gas hydrates and exist in three confirmed crystal structures based on the enclosed gas molecules: Type I (melanophlogite) with pentagonal dodecahedra (5¹²) and 14-hedra (5¹² 6²), Type II (chibaite) with pentagonal dodecahedra (5¹²) and 16-hedra (5¹² 6⁴), and Type H (bosoite) featuring pentagonal dodecahedra (5¹²), 12-hedra (4³ 5⁶ 6³), and 20-hedra (5¹² 6⁸). The cages have a diameter of approximately 1 nm (10⁻⁹ m, or one-millionth of a millimeter). Because the specific type of crystal structure that forms depends on the size and concentration of the gas molecules present, crystallization progresses in a distinct sequence: first melanophlogite, then chibaite, and finally bosoite. As bosoite develops, chibaite grows alongside it in a symbiotic manner. Among the three, melanophlogite is the most unstable yet the most abundant, whereas bosoite forms a crystal volume that is extremely small by comparison.
In contrast to clathrasils, zeolites are aluminosilicates composed of corner-sharing SiO₄ and AlO₄ tetrahedra. This linkage forms porous cage-like or channel-like frameworks that allow the dynamic exchange of water molecules, alkali, and alkaline-earth metal cations in solution. For instance, sodium-bearing zeolites adsorb radioactive cesium, calcium, or magnesium ions by releasing sodium ions. Conversely, silica clathrates feature fullerene-like convex polyhedral cages with near-100% gas occupancy. Due to their narrow apertures, guest molecules cannot easily enter or exit, rendering clathrasils ineffective for catalytic or adsorption applications. However, their charge-neutral frameworks provide exceptional stability; they resist decomposition up to 1,000°C in dry environments. They securely encapsulate ancient geological gases until the crystals slowly dissolve in hydrothermal solutions over extensive timescales. Consequently, these clathrates offer a novel proxy for understanding the subterranean carbon cycle within gas hydrate deposits.

-千葉県立中央博物館「房総の山のフィールド・ミュージアム」
-高田クリスタルミュージアム
-「結晶図作図法の概観と結晶図の描き方」高田雅介　鉱物学雑誌 第20巻 第1・2号43～54　1991年1・4月
-「石ころ博士入門」（高橋直樹＆大木淳一 著　全国農村教育協会2015年）
-千葉県の石　日本地質学会

-千葉県立中央博物館 平成 23 年度自然誌シンポジウム 新鉱物『千葉石 ちばせき 』 -その性質と成因-
-Momma,K., Ikeda, T., Nishikubo, K., Takahashi, N., Honma, C., Takada, M., Furukawa, Y., Nagase, T. and Kudoh, Y. "New silica clathrate minerals that are isostructural with natural gas hydrates." Nature Communications 2, 196, 2011.
-高橋直樹「新鉱物「千葉石」の発見」山形応用地質37号, p54-55, 山形応用地質研究会2017年
-門馬綱一「千葉県で発見された新鉱物『千葉石』」化学と教育64巻12号（2016年）
-Koichi Momma, Takuji Ikeda, Toshiro Nagase, Takahiro Kuribayashi, Chibune Honma, Katsumi Nishikubo, Naoki Takahashi, Masayuki Takada, Yoshitaka Matsushita, Ritsuro Miyawaki and Satoshi Matsubara. "Bosoite, a new silica clathrate mineral from Chiba Prefecture, Japan." Mineralogical Magazine 4, 941-948, 2020

千葉石 / Chibaite 門馬綱一氏撮影（本間千舟氏標本）*結晶平均径1~5mm程度

千葉県立中央博物館 平成 23 年度自然誌シンポジウム 新鉱物『千葉石 ちばせき 』その性質と成因 

図９．千葉石の結晶形態 [左：単結晶，右：双晶]（高田雅介作成）

千葉県立中央博物館 平成 23 年度自然誌シンポジウム 新鉱物『千葉石 ちばせき 』その性質と成因 

千葉石発見物語

「乳白色六角板状結晶」
　1998年、千葉県の南房総市荒川にある採石場「協栄産業」が埋め立て用の砂岩・泥岩を採掘するそばで、在野の化石研究家・本間千舟氏は夫婦でシロウリガイ・タマガイ・キララガイ・キヌタレガイ・ソデガイなどの貝化石やノジュール（化石や砂粒を核として岩石中の珪酸や炭酸塩などが集まり沈殿凝固したもの）・方解石・水晶・玉髄・めのう・オパール、そして奇妙な「乳白色六角板状結晶」を発見します。
　産出場所は、表層のほとんどが堆積層から成る千葉県において、房総半島南部の嶺岡耐帯およびその周辺に分布する「保田層群」（およそ2,300〜1,400万年前）はプレートの沈み込みで激しい変形や剪断を受けた地層で、全体的に破砕された火山由来の泥岩及び砂岩層を方解石脈や石英脈が貫く中で見出されたものでした。その近傍で発見されたシロウリガイに代表される化学合成二枚貝の化石は、1,000ｍを超える深海底の熱水噴出口や、プレートの沈込み帯に伴う冷湧水の周辺で、硫化水素やメタンをエネルギー 源とする化学合成細菌と共生していました。当時の日本はまだアジア大陸のへりに存在し、房総半島がどのような場所に位置していたかは不明瞭です。

「化晶」
　「千葉県でもアスベストが出る！これがアスベストだ！」（2005年7月9日～9月30日）、「結晶とガラス展　わたしたちが住んでいる地球は結晶と非結晶（ガラス）に分けられる！」（2006年3月11日～6月4日）、「海岸で石ころを拾おう！石ころ観察会　Ishikoro Woderland」（1999~2005まで隔年開催、2007年より毎年開催）。「石なし県」と呼ばれる千葉県の千葉県立中央博物館で石の展示や観察会に精力を傾ける地学研究科の高橋直樹氏は房総半島の岩石研究家。非生物系書籍「川原の石ころ図鑑」（渡辺一夫 著　ポプラ社2002年）異例の大ヒットに尻を叩かれるように、「博物館友の会」の石好きで結成した「ヒスイの会」メンバーを率いて千葉から関東・東北南部～中部地方まで集めてまわった岩石剥片を顕微鏡撮影して「石ころ博士入門」（高橋直樹＆大木淳一 著　全国農村教育協会2015年）を出版します。そして地学観察会に持ち込まれた「これまでに周辺で産出したどの鉱物とも異なる結晶」に地元ならではの勘で着目し、近くで多種類に産出される「沸石　Zeolite」の仲間と考えるものの、国立科学博物館にX線回折分析（XRD：X-ray Diffraction）を依頼すると、結果はありふれた「石英　Quarts」。石英でありながら先の尖った六角柱でないのは、房総半島に火山活動に伴う高温熱水が存在しないせいだろうか、何らかの「化晶　pseudmorph」（温度・圧力・化学的変化により外形を保ったまま成分が置換した鉱物）ではないだろうかと疑問を残しながら8年が経過します。

「切頂八面体」
　2006年、地学観察会に出入りする在野の鉱物研究家である西久保勝己氏が千葉県産「沸石　Zeolite」の形態について調べ上げた研究レポートを持ち込みます。それをきっかけに、「乳白色六角板状結晶」の形態を詳しく調べることで元の鉱物を推定できるかもしれないと結論。調査を依頼された高田クリスタルミュージアム館長・高田雅介氏は、京都の在野鉱物研究家で鉱物愛好家のための雑誌「地学研究」や「ペグマタイト」などを長年編集出版し、毎号必ず結晶形態の研究結果として自ら作図した、結晶面上の特徴や複雑な双晶（2つ以上の単晶が対称的な位置関係になる様に接合した結晶領域）を正確に捉えた美しい結晶図を掲載して目を引いていました。径数mm程度の結晶ひとつひとつについて、実体顕微鏡と反射測角器を用いて結晶面角度を測定、測定値の緯度・経度を鉱物固有の結晶軸に基づく面指数（10以下の整数）に変換、平面に斜視投影された結晶軸の位置と稜（晶帯軸）の方向を計算して結晶図を描きます。その結果、切頂八面体様の立法晶系（cubic crystal system：結晶軸全3本が同じ長さで互いに直交する）結晶が双晶（Double Crystal）して六角板状になっていることが示され、仮晶であることが確認されます。元鉱物の候補として挙げられたのは、立法晶系で化学組成がSiO₂に近い「クリストバル石（Cristobalite）」と「メラノフロジャイト（Melanophlogite）」。

「カゴ状構造」
　それなりに満足して生成過程について考えを巡らせる高橋氏に対して、「千葉県民としてはこのまま諦めるわけにいかない」西久保氏は日本新産出メラノフロジャイトを求めて「元の鉱物がそのまま保存されているであろう無色透明な結晶」を鋭い観察眼によって探し出します。再分析依頼をしたのは、シリカ鉱物を専門に研究する東北大学博士課程在籍中（のち国立科学博物館研究員）の門馬綱一氏。電子線微小分析装置（Electron Probe Micro Analyzer）により骨格組成はほぼシリカ（Silica　SiO₂）であること、ラマン分光分析（Raman spectroscopy）によりメタンガスが含まれていること、結晶X線解析（XRC：X-ray crystallography）によりメラノフロジャイトでない新鉱物であることを突き止めます。さらに、「沸石」の材料開発を研究する産業技術総合研究所東北センター研究員・池田卓史氏に粉末X線回折解析（PXRC：Powder X-ray diffraction）を依頼し、リートベルト解析（Rietveld Analysis）により5角12面体と5角12・6角4の16面体の結晶構造を同定、ラマンスペクトルの伸縮振動の比較によりメタン、エタン、プロパン、イソブタンなどの炭化水素が含まれていることを確認します。

「千葉石」
　「新鉱物」の定義は国際鉱物学連合（IMA: International Mineralogical Association）の新鉱物分類・命名委員会（Commission on New Minerals, Nomenclature and Classification）が厳密な審査と管理を行い、「化学組成」と「結晶構造」のどちらかまたは両方が既知の鉱物と異なるという２/３の賛成投票を得て「新鉱物」と承認されます。発見者は２年以内に国際誌に論文発表を行わなければならなりません。2008年秋に新鉱物申請を行い、最初の発見から11年目の2009年3月、「千葉石　Chibaite」認定（IMA No.2008-067）、2011年2月に論文発表されます（K. Momma et al. "New silica clathrate minerals that are isostructural with natural gas hydrates." Nature Communications 2, 196, 2011）。最大約5.3m東南東への地殻変動が観測された東日本大震災を挟んで同年、千葉石の仲間「メラノフロジャイト　Melanophlogite」が、地学観察会に出入りする在野の鉱物研究家・鴻田昌彦氏により木更津市畑沢の下総層群藪層ならびに南房総市荒川から日本新産出。続いて、千葉石の研究過程で見つかったきょうだい「房総石（Bosoite）」も2014年に新種認定されます（IMA No.2014- 023）。

USA

かじられたゾーン多面体：螺旋多面体 / Bitten Zonohedra: Spirallohedra

螺旋多面体
Spirallohedra
2000
独学研究者　ラッセル・タウル
Independent Scholar　Russell Towle
米国カリフォルニア州シエラネバダ山奥の六角形の家
Hexagonal house in a remote part of the Sierra Nevada mountains of California
*******

　数学の新しいツール「Mathematica」（計算科学処理ソフトウェア）を駆使して幾何学の世界を探求していた独学者ラッセル・タウルは、優雅で美しい螺旋状の翼を持つ多面体を発見します。

　彼が研究していた極性ゾーン多面体（Polar Zonohedra）は、2つの尖った極があるアメリカンフットボールを引き延ばしたり押しつぶしたり膨らませたりしたようなカタチで、高次元の多面体である超立方体（Hypercube）が３次元投影として現れた特別なゾーン多面体（Zonohedra）です。構成する無数の菱面体（菱形六面体）から特定のセルを慎重に取り除くことで、螺旋多面体（Spirallohedron）にたどりつきます。k個（kは2より大きい整数）の螺旋表面に囲まれ、k次（360°/kの回転対称性）の対称軸を持ち、キラルな（鏡像と重ね合わせることができない）非凸多面体です。

　「ひし形で敷き詰められた正2n角形の周縁部から2つまたは3つのひし形領域をかじる（bites）と、ひし形で敷き詰められた非凸多角形「かじられたゾノゴン（bitten zonogons）」はどちらも平面を充填する」。このアイディアを３次元に拡張して、「かじられたゾーン多面体（bitten Zonohedra）」である3翼および4翼の螺旋多面体（Spirallohedron）が空間充填することを見つけます*。そこでさらに、対称軸に垂直な断面から得た正k角形のうち「辺同士がぴったり重ならない」タイリング*を発見したことから、より高次元の４次元で空間充填すると「面同士がぴったり重ならない」３次元空間充填が得られることを示唆しています。

Using a new mathematical tool, the computational software Mathematica, independent scholar Russell Towle explored the world of geometry and discovered a class of elegant and beautiful polyhedra with spiral-shaped wings.

The objects he was studying were Polar Zonohedra, which are special kinds of zonohedra that appear as the three-dimensional projection of a higher-dimensional polyhedron, Hypercube. Their shape resembles an American football that has been stretched, squashed, or inflated. By carefully removing specific cells from the countless rhombic faces (rhombohedra) that make them up, he arrived at the Spirallohedron. This is a new geometric structure: a chiral (non-superimposable on its mirror image), non-convex polyhedron surrounded by k spiral surfaces (where k is an integer greater than 2) and possessing a k-fold (360°/k rotational) symmetry axis.

He discovered that "when you 'bite' two or three rhombic regions from the periphery of a regular 2n-gon tiled with rhombi, the resulting non-convex polygons—which he called bitten zonogons—can both tile a plane." He extended this idea into three dimensions to find that the 3-winged and 4-winged spirallohedra, which are bitten zonohedra, can fill space. From this, he further deduced that the regular k-gons obtained from a cross-section perpendicular to the symmetry axis form a tiling where the edges do not perfectly meet. This suggests that a higher-dimensional space-filling in four dimensions would result in a three-dimensional space-filling where the faces do not perfectly meet.

-Russell Towle "Rhombic spirallohedra" Volume 11, Numbers 1-4, pages 293-306 (2000)

-Towle R. (2002) "Stellation and Zonotopal Tilings, Symmetry" Culture and Science, 13, 1-2, 121-128.

-Michel Petitjean. Spirallohedra and Space Filling. A Tribute to Russell Towle.. Symmetry: Culture and Science, 2008, 19 (1), pp.5-8. ffhal-01941511f

-Stephen Wolfram (2008), "Russell Towle: 1949–2008," Stephen Wolfram Writings. writings.stephenwolfram.com/2008/10/russell-towle-1949-2008. 

火焔型土器：四面体対称性のゴールドバーグの立体 / Tetrahedrally Symmetric Goldberg Polyhedra

四面体対称性のゴールドバーグの立体
Tetrahedrally Symmetric Goldberg Polyhedra
2014
米国カリフォルニア大学
Department of Psychology, University of California, Los Angeles, CA 90095

火焔型土器

　ゴールドバーグの立体は、対称性の高い美しい立体です。頂点は3価で(頂点から3本の辺が出る)、面は三角形と六角形(四面体対称の場合)、または四角形と六角形(八面体対称の場合)、または五角形と六角形(二十面体対称の場合)です。簡単にイメージすると、正四面体(三角形×4)、正六面体(四角形x6)、正十二面体(五角形×12)から出発して、各面を互いに引き離して隙間を作り、そこに六角形を3価で対称的に加えて作ることができます。六角形の数はどんどん増やせますので、ゴールドバーグの立体は無限に続きま ・アルキメデスの立体も幾つか含まれていて(切頂四面体、切頂八面体、切頂二十面体)、これらは面が平坦で窪みのない立体(凸多面体)です。しかし、ほとんどの場合、正多角形でゴールドバーグの立体を作ると面が曲がってしまうのです(凸多面体ではない)。これでは、プラトンの立体、アルキメデスの立体、ケプラーの菱形多面体のような、辺の長さが同じで対称性が高い凸多面体の仲間に入れてもらえません。そこでこの論文は、辺の長さは同じに保ったまま、 六角形の内角だけを調節することで、凸多面体が得られることを示しました。つまり、辺の長さが同じで対称性が高い新しいクラスの凸多面体がここに誕生しました。下の図は、論文に記載された六角形の内角を調節していない立体の例で、 正三形と正六角形で作ることができる面が大きく曲がった四面体対称のゴールドバーグの立体です。

*Goldberg (1937), Tohoku Math 43: 104-108
*Cusper and Klug (1962), Cold Spring Harb Symp Quant Biol 27: 1-24

四面体対称のゴールドバーグの立体

　3価で三角形と六角形からなる四面体対称の立体です。正四面体から始まり、 無限にあります。三角形は常に4つで、六角形の数が異なります。三角形の位置はちょうど正四面体の頂点部分にあたり、その間を六角形で均等に埋めた形です。大雑把に見ると正四面体のようです。一つの三角形をスタートして、『 面づたいにm面直進し、60度向きを変えてn面直進すると、最寄りの三角形にたどり着きます。このとき、I型はmまたはn=0、II型はm=n、III型は m≠ nです。III型のみ鏡像体があり、ねじれた外観です。特にII型と III 型は変化に富んでいて、ダイナミックに見えます。(m,n)=(1,0)はI型で正四面体です (V4[34]F4[34])。(m,n)=(1,1)はII型で切頂四面体です (V12[312]F8[3464])。図に示した (m,n)=(1,2)は III 型で、鏡像体は(m,n)=(2,1)です(ともにV28[328]F16[34612])。切頂四面体をひねったような形で、ひっくり返すと燃え上がる炎のように見えます。

*"Fourth class of convex equilateral polyhedron with polyhedral symmetry related to fullerenes and viruses", Schein and Gayed, PNAS 111(8): 2920-2925 (2014)

"Flame-shaped Doki (Pottery)"

Goldberg polyhedra are beautiful solids with high symmetry. Their vertices are trivalent (three edges extend from each vertex), and their faces are triangles and hexagons (in the case of tetrahedral symmetry), or squares and hexagons (in the case of octahedral symmetry), or pentagons and hexagons (in the case of icosahedral symmetry). To easily visualize them, you can start from a regular tetrahedron (4 triangles), a regular hexahedron (6 squares), or a regular dodecahedron (12 pentagons), then pull each face apart to create gaps, and symmetrically add trivalent hexagons into these spaces. Since the number of hexagons can be increased indefinitely, Goldberg polyhedra continue infinitely. Some Archimedean solids are also included (truncated tetrahedron, truncated octahedron, truncated icosahedron), and these are convex polyhedra with flat faces and no indentations. However, in most cases, when Goldberg polyhedra are made from regular polygons, their faces become curved (they are not convex polyhedra). In this state, they cannot be included among Platonic solids, Archimedean solids, or Kepler's rhombic polyhedra, which are convex polyhedra with equal edge lengths and high symmetry. Therefore, this paper demonstrated that convex polyhedra can be obtained by adjusting only the internal angles of the hexagons while keeping the edge lengths the same. In other words, a new class of convex polyhedra with equal edge lengths and high symmetry was born here. The figure below shows an example of a polyhedron described in the paper where the internal angles of the hexagons have not been adjusted; it is a tetrahedral Goldberg polyhedron made of regular triangles and regular hexagons, with significantly curved faces.

Tetrahedrally Symmetric Goldberg Polyhedra

These are tetrahedrally symmetric solids composed of trivalent triangles and hexagons. They start from a regular tetrahedron and exist infinitely. There are always 4 triangles, and the number of hexagons differs. The positions of the triangles correspond exactly to the vertices of a regular tetrahedron, with hexagons evenly filling the spaces between them. Roughly speaking, they resemble a regular tetrahedron. Starting from one triangle, if you move m faces straight along the surface and then turn 60 degrees and move n faces straight, you will reach the nearest triangle. In this case, Type I is when m or n=0, Type II is when m=n, and Type III is when m=n. Only Type III has a mirror image and a twisted appearance. Types II and III, in particular, are rich in variation and appear dynamic. (m,n)=(1,0) is a Type I, which is a regular tetrahedron (V4[34]F4[34]). (m,n)=(1,1) is a Type II, which is a truncated tetrahedron (V12[312]F8[3464]). The (m,n)=(1,2) shown in the figure is a Type III, and its mirror image is (m,n)=(2,1) (both are V28[328]F16[34612]). Its shape is like a twisted truncated tetrahedron, and when inverted, it looks like a blazing flame.

 United Kingdom 

細胞の中の小さな包装係：クラスリン / A Tiny Packaging Attendant in The Cell: Clathrin

クラスリン複合体
Clathrin complex (triskelion)
2019年ロンドン医学研究所、イギリス
Institute of Medical Sciences, London, UK in 2019

細胞の中の小さな包装係

　真核細胞には膜輸送というユニークな物流システムがあり、タンパク質などの生体分子を小さな球状の膜（小胞）に乗せて輸送します。クラスリンは構造タンパク質で小胞をつくるときに必要となります。クラスリン複合体（triskelion）は、中心から3方向に渦巻くように伸びた形をしています（3価の頂点と辺に相当）。膜をちぎって小胞をつくるときに、クラスリン複合体が足場となり、膜を小胞体から包み込むように自己集合しながらかご状構造体を形成します。かご状構造体は主にフラーレンの様な形（頂点は3価、面は五角形と六角形）です。この論文では低温電子顕微鏡を用いて、サツマイモ、テニスボール、樽、りんご、等のあだ名がつけられたかご状構造体を観察して、大きさや形の異なるかご状構造体を上手に編み上げるクラスリンの状態を考察しています。ここでは論文の中から２つ、「テニスボール」C36:14D2dと「樽」C36:15D6hを選んでいます。これらはともにC36フラーレン構造体です。この構造体には15種類の異なる形が考えられるのですが、その中でも自然に形成されやすい形（自己集合しやすい形）がこれら2つの形になります。これらは幾何学的な観点から予想されています。

C36:14D2dとC36:15D6h

　C36フラーレン構造体には15種類の異なる形が考えられ、その２つにあたります（14番目と15番目）。頂点は３６（３価ｘ３６）、面は２０（五角形ｘ１２、六角形ｘ８）。C36:14D2dは少しいびつなボールな形で、テニスそすると変な方向に飛び跳ねそうです。180度（=360/2）回転しても形が同じに見える軸があり、その軸を立てて横から見ると、形が上下でねじれています。これは半角柱のような対称性です。C36:15D6hは角ばった樽のような形です。６０度（=360/6）回転しても形が同じに見える軸があり、その軸を立てて横から見ると、形が上下で同じです。これは角柱のような対称性です。

A Tiny Packaging Attendant in The Cell

Eukaryotic cells have a unique logistics called membrane trafficking, in which various molecules are transported via vesicle. Clathrin is a structural protein, which plays an important role in formation off vesicles. Clathrin complex (triskelion) in a shape f triple spiral radiating from the center (corresponds to a 3-deg vertex with edges) is a construction unit of cage-like structures. Self-assembly of clathrin occurs on the membrane surface as it coats the vesicle being pinched off from the membrane. Many clathrin cages resemble fullerene structures (3-deg, 5-gon and 6-gon). In this paper, some of clathrin cages termed "mini-coat", ""sweet potato", "barrel", "tennis ball", and "big apple" were characterized by cryo-electron microscopy, providing insights into how clathrin forms a variety of cages with different sizes and shapes. Picked up here are the "tennis ball" C36:14D2d and "barrel" C36:15D6h, naturally observed clathrin cages that belong to C36 fullerene structures. Although there are 15 different shapes for C36 fullerene structures, there two are the favorable shapes for self-assembly as shown by a theoretical study based on geometry.

C36:14D2dとC36:15D6h

These are the 14th and 15th isomers of C36 fullerene structures. It has 36 vertices (30-deg x 36) and 20 faces (5-deg x 12 and 6-gon x8). C36:14D2h is like a ball which may bounce irregularly in playing tennis. It has a 2-fold rotation axis, and, by standing it upright, the upper and lower parts looks twisted. It has anti-prism-like symmetry. C36:15D6h is like a hexagonally angulates barrel. It has a 6-fold rotation axis, and, by standing it upright, the upper and lower parts look the same. It has prism-like symmetry.

-"Cryo-EM of multiple cage architectures reveals a universal mode of clathrin self-assembly" Morris KL et al, Nature Structural & Molecular Biology, 03 Oct 2019, 26(10):890-898

 Germany

多面体の周期表: Face-Regular Polyhedra / The Polyhedra Periodic Table

多面体の周期表
The Polyhedra Periodic Table
１９９９年　ドイツのビーレフェルト大学 数学部
Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld, Germany in 1999

「Face-Regular Polyhedra」

　「正多面体（プラトンの立体）/ Regular Polyhedra）」は、「全ての面が合同な正多角形で、全ての頂点における面の配置が同じ（どの頂点を選んでも、その頂点に集まる面の数、面の形、それらの面がなす角度（多面角）がすべて同じ）」という非常に厳しい条件を満たす5種類の多面体（正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体）のみを指します。一方、「Face-Regular Polyhedra」は「すべての面が正多角形である」という条件が唯一の必須条件です。この定義には正多面体の他に、「半正多面体 / Archimedean solids」、「ジョンソンの立体 / Johnson solids」、「多角柱 / Prisms」「反角柱 / Antiprisms」などが含まれます。これらの多面体は、面は正多角形でも、複数の種類の正多角形から構成されていたり、頂点の配置が均一でなかったりします。

「多面体の周期表」

　多面体の性質を統一的に理解するために、多面体の骨格が持つ「Face-Regular」（面正則性）という「多面体グラフ構造」と、多面体が空間内で持つ「面推移性」という「幾何学的対称性」を組み合わせた新しい枠組みを提案。さらに、「面の最大サイズを限定（全ての面は五角形以下など）」「頂点の次数が一定（各頂点に集まる辺数が全て同じ）」の条件下で「Face-Regular Polyhedra」の数が有限であるという結果を導き出しています。これは、無限に存在する可能性のある多面体の世界を、特定の制約のもとで体系的に分類・リスト化できることを示唆する、まるで「多面体の周期表」を作成するような試みと言えます。具体的な調査として「面のサイズが2種類（三角形と四角形のみ、五角形と六角形のみ、など）」 である多面体について構造リストを体系的に提示。新しい建築構造物の設計や、特定の対称性を持つ分子モデルの構築など、様々な分野での幾何学的な美しさまた機能性を解き明かす協力なツールとなる可能性を秘めています。

Face-Regular Polyhedra

Regular Polyhedra (Platonic Solids) refer to just five specific polyhedra: the tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, and icosahedron. These shapes satisfy extremely strict conditions: all their faces are congruent regular polygons, and the arrangement of faces at every vertex is identical (meaning that no matter which vertex you choose, the number of faces meeting at that vertex, their shapes, and the angles they form are all the same).
In contrast, Face-Regular Polyhedra have only one essential requirement: "all faces must be regular polygons." This definition includes Platonic Solids, but also encompasses Archimedean solids, Johnson solids, Prisms, and Antiprisms, among others. While their faces are regular polygons, these polyhedra may be composed of multiple types of regular polygons or have non-uniform vertex configurations.

The Periodic Table of Polyhedra

To understand the properties of polyhedra in a unified manner, a new framework is proposed that combines the "polyhedral graph structure" of a polyhedron's skeleton, which possesses "Face-Regularity," with "geometric symmetry," which is "face transitivity" that the polyhedron has in space. Furthermore, under the conditions of "limiting the maximum face size (e.g., all faces are pentagonal or smaller)" and "constant vertex degree (i.e., the same number of edges meet at every vertex)," they have derived the result that the number of "Face-Regular Polyhedra" is finite. This suggests that the potentially infinite world of polyhedra can be systematically classified and listed under specific constraints, much like an attempt to create a "Periodic Table of Polyhedra." As a specific investigation, a structural list for polyhedra with "two types of face sizes (e.g., only triangles and squares, or only pentagons and hexagons)" is systematically presented. This holds the potential to be a powerful tool for unraveling the geometric beauty and functionality in various fields, such as the design of new architectural structures and the construction of molecular models with specific symmetries.

Source: Gunnar Brinkmann, Michel Deza "Lists of Face-Regular Polyhedra" J Chem Inf Comput Sci . 2000 May;40(3):530-41

Egypt

ギザの大ピラミッドと黄金比　The Great Pyramid and Golden Ratio